Mit Google fortfahren
Goldener Schnitt: Verhältnis berechnen und prüfen
Beim Goldenen Schnitt wird eine Strecke so geteilt, dass sich der längere Teil zum kürzeren genauso verhält wie die ganze Strecke zum längeren Teil. Dieses Verhältnis heißt $\Phi$ (Phi) und beträgt ungefähr $1{,}618$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Das besondere Verhältnis verstehen
Eine Strecke besteht aus dem längeren Teil $a$ und dem kürzeren Teil $b$. Dabei gilt $a>b>0$.
Goldener Schnitt
Eine Teilung ist golden, wenn
$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$$
gilt. Links vergleichst du längerer Teil : kürzerer Teil, rechts Gesamtstrecke : längerer Teil. Beide Quotienten müssen gleich sein.
Der gemeinsame Wert heißt Goldene Zahl:
$$\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1{,}618$$
Der längere Teil umfasst ungefähr $61{,}8\,\%$ der Gesamtstrecke, der kürzere ungefähr $38{,}2\,\%$. Die Teile sind also nicht gleich groß. Das Besondere ist die Wiederholung desselben Verhältnisses.
Eine bloße Aufteilung in zwei ungleiche Teile ist noch kein Goldener Schnitt. Entscheidend ist die Gleichheit der beiden Quotienten.
Phi herleiten und Strecken teilen
Setze $x=a/b$. Aus der Definitionsgleichung folgt
$$x=1+\frac{1}{x}$$
und nach Multiplikation mit $x$:
$$x^2-x-1=0$$
Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen. Weil ein Längenverhältnis positiv sein muss, bleibt nur
$$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi$$
Die negative Lösung kann kein Verhältnis positiver Strecken sein. Außerdem gelten
$$\Phi^2=\Phi+1 \quad\text{und}\quad \frac{1}{\Phi}=\Phi-1\approx0{,}618$$
Teile eine 10 cm lange Strecke golden.
- Der längere Teil ist $a=10/\Phi\approx6{,}18$ cm.
- Der kürzere Teil ist $b=10-a\approx3{,}82$ cm.
- Kontrolle: $6{,}18/3{,}82\approx1{,}618$ und $10/6{,}18\approx1{,}618$.
Damit liegt der Teilungspunkt etwa $6{,}18$ cm von einem Ende entfernt.
Für eine Gesamtstrecke $L$ kannst du direkt rechnen:
$$a=\frac{L}{\Phi}\approx0{,}618L,\qquad b=\frac{L}{\Phi^2}\approx0{,}382L$$
Goldene Rechtecke durch Ähnlichkeit erklären
Ein goldenes Rechteck hat das Seitenverhältnis
$$\frac{\text{lange Seite}}{\text{kurze Seite}}=\Phi$$
Schneidest du ein Quadrat ab, bleibt ein kleineres Rechteck mit demselben Seitenverhältnis. Die beiden Rechtecke sind ähnlich: Sie haben dieselbe Form, aber unterschiedliche Größen.
Sei die kurze Seite $b$ und die lange Seite $a=\Phi b$. Nach dem Abschneiden eines Quadrats mit Seitenlänge $b$ hat das Restrechteck die Seiten $b$ und $a-b$.
Weil $\Phi-1=1/\Phi$ gilt, ist
$$a-b=(\Phi-1)b=\frac{b}{\Phi}$$
Damit folgt
$$\frac{b}{a-b}=\Phi$$
Das Restrechteck ist also wieder golden.
Im regelmäßigen Fünfeck gilt ebenfalls eine exakte Beziehung: Diagonale : Seite $=\Phi$. Solche geometrischen Beziehungen lassen sich beweisen. Das unterscheidet sie von bloß passend wirkenden Messungen an Bildern oder Bauwerken.
Fibonacci-Quotienten als Näherungen nutzen
In der Fibonacci-Folge ist jede Zahl ab dem dritten Glied die Summe ihrer beiden Vorgänger:
$$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,\ldots$$
Quotienten aufeinanderfolgender Zahlen nähern sich $\Phi$:
- $5/3\approx1{,}667$
- $21/13\approx1{,}615$
- $34/21\approx1{,}619$
Die Werte springen zunächst über und unter $\Phi$. Mit größeren aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen werden sie im Allgemeinen genauer.
Die Fibonacci-Zahlen sind nicht mit dem Goldenen Schnitt identisch. Ihre aufeinanderfolgenden Quotienten nähern sich dem Goldenen Schnitt nur an.
Behauptungen über Natur und Gestaltung prüfen
Der Goldene Schnitt kommt in exakten mathematischen Beziehungen vor, zum Beispiel im regelmäßigen Fünfeck. Bei manchen Pflanzen liegt der Winkel aufeinanderfolgender Blätter ungefähr beim Goldenen Winkel von $137{,}5^\circ$. Das gilt jedoch nicht für alle Pflanzen.
Bei Kunstwerken, Gebäuden, Körpermaßen oder Logos ist Vorsicht nötig. Eine gemessene Zahl nahe $1{,}618$ beweist allein weder eine bewusste Planung noch eine besondere Schönheit. Messpunkte können unterschiedlich gewählt und passende Beispiele nachträglich ausgesucht werden.
Trenne drei Aussagen: exakt bewiesen, näherungsweise gemessen und historisch bewusst verwendet. Aus einer Näherung folgt nicht automatisch eine Absicht.
Auch die bekannte Kurve aus Viertelkreisen in immer kleineren Quadraten ist nur eine Näherung der mathematischen Goldenen Spirale. Ähnlichkeit im Aussehen ist keine Identität.
Du misst an einem Bild zwei Längen und erhältst den Quotienten $1{,}62$. Sicher darfst du sagen: „Die gemessenen Längen liegen nahe am Goldenen Verhältnis.“ Ohne Entwurf, Erklärung oder weitere Belege darfst du nicht folgern: „Das Bild wurde absichtlich nach dem Goldenen Schnitt gestaltet.“
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Goldener Schnitt
- Definition: gleiches Verhältnis in Teil und Ganzem
- Zahl: $\Phi\approx1{,}618$
- Streckenteilung: etwa $61{,}8\,\%$ und $38{,}2\,\%$
- Geometrie: goldenes Rechteck und regelmäßiges Fünfeck
- Folgen: Fibonacci-Quotienten nähern sich $\Phi$
- Prüfung: exakt, näherungsweise und beabsichtigt unterscheiden