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Bei einer zentrischen Streckung wird eine Figur von einem Zentrum aus vergrößert oder verkleinert. Das brauchst du in der Geometrie, bei Ähnlichkeit und bei Maßstäben.
- Ich kann Zentrum, Streckfaktor und Bildpunkt erklären.
- Ich kann Punkte bei einer zentrischen Streckung konstruieren.
- Ich kann Vergrößerung, Verkleinerung und Spiegelung am Zentrum unterscheiden.
- Ich kann Längen und Flächen nach dem Streckfaktor deuten.
Grundidee
Eine zentrische Streckung verschiebt jeden Punkt auf einer Geraden durch das Streckzentrum. Der Abstand zum Zentrum wird mit einem Faktor multipliziert.
Zentrische Streckung
Bei der zentrischen Streckung mit Zentrum \(Z\) und Faktor \(k\) liegt der Bildpunkt \(P'\) auf der Geraden \(ZP\) und es gilt \(ZP'=|k|\cdot ZP\). Bei negativem \(k\) liegt \(P'\) auf der anderen Seite von \(Z\).
Ist \(ZP=4\,\text{cm}\) und \(k=2\), dann liegt \(P'\) auf dem Strahl von \(Z\) durch \(P\) in Abstand \(8\,\text{cm}\) von \(Z\).
Das Zentrum bleibt fest. Alle anderen Punkte wandern vom Zentrum aus nach Faktor \(k\).
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Konstruieren
Du zeichnest vom Zentrum durch jeden Punkt eine Hilfsgerade und misst den neuen Abstand ab.
Dreieck \(ABC\) wird mit Zentrum \(Z\) und \(k=\frac{1}{2}\) gestreckt. Für jeden Punkt zeichnest du die Gerade durch \(Z\) und den Punkt. Dann misst du jeweils die halbe Entfernung von \(Z\) ab. Die Bildpunkte heißen \(A'\), \(B'\), \(C'\).
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Längen und Flächen
Längen werden mit \(|k|\) multipliziert. Flächen werden mit \(k^2\) multipliziert.
Ein Rechteck hat Fläche \(12\,\text{cm}^2\) und wird mit \(k=3\) gestreckt. Die Seiten werden dreimal so lang, die Fläche wird \(3^2=9\)-mal so groß. Neue Fläche: \(108\,\text{cm}^2\).
Prüfungsmodus
Unterscheide Streckung von Verschiebung: Bei der Streckung gibt es ein festes Zentrum und alle Verbindungslinien laufen durch dieses Zentrum.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Zentrische Streckung vergrößert oder verkleinert Figuren vom Zentrum aus. Der Streckfaktor bestimmt Abstand und Seite. Längen ändern sich mit \(|k|\), Flächen mit \(k^2\), Winkel bleiben gleich.