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Zentrische Streckung: Konstruktion und Faktor k
Bei einer zentrischen Streckung vergrößerst oder verkleinerst du eine Figur von einem festen Punkt aus. Dieser Punkt heißt Streckungszentrum $Z$. Der Streckungsfaktor $k$ bestimmt den Abstand und die Seite des Zentrums, auf der ein Bildpunkt liegt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was geschieht bei einer zentrischen Streckung?
Zu jedem Ausgangspunkt $P$ gehört ein Bildpunkt $P'$. Das Zentrum $Z$, der Punkt $P$ und sein Bildpunkt $P'$ liegen auf einer Geraden.
Zentrische Streckung
Für einen Streckfaktor $k \ne 0$ gilt die Punktregel
$$\overrightarrow{ZP'}=k\cdot\overrightarrow{ZP}.$$
Der Abstand des Bildpunkts vom Zentrum beträgt deshalb
$$|ZP'|=|k|\cdot|ZP|.$$
Das Vorzeichen und der Betrag von $k$ haben unterschiedliche Aufgaben:
- $k>0$: $P$ und $P'$ liegen auf derselben Seite von $Z$.
- $k<0$: $P$ und $P'$ liegen auf entgegengesetzten Seiten von $Z$.
- $|k|>1$: Die Figur wird vergrößert.
- $0<|k|<1$: Die Figur wird verkleinert.
- $k=1$: Die Figur bleibt unverändert.
- $k=-1$: Es entsteht eine Punktspiegelung an $Z$, also eine Drehung um $180^\circ$.
Bei $k=0$ würden alle Punkte auf $Z$ fallen. Diesen entarteten Fall zählt man gewöhnlich nicht als reguläre zentrische Streckung, weil keine ähnliche Bildfigur mehr entsteht.
Der Betrag $|k|$ bestimmt die Entfernung vom Zentrum. Das Vorzeichen bestimmt die Seite des Zentrums.
Wie konstruierst du eine Bildfigur?
Gegeben seien das Zentrum $Z$, eine Figur und der Faktor $k$.
- Zeichne durch $Z$ und jeden Eckpunkt eine Hilfsgerade.
- Multipliziere den Abstand jedes Eckpunkts von $Z$ mit $|k|$.
- Trage den neuen Abstand ab: bei $k>0$ auf derselben, bei $k<0$ auf der gegenüberliegenden Seite von $Z$.
- Beschrifte die Bildpunkte mit Strichen, zum Beispiel $A'$, $B'$ und $C'$.
- Verbinde die Bildpunkte in derselben Reihenfolge wie die Ausgangspunkte.
Ein Eckpunkt $C$ ist $6\,\text{cm}$ vom Zentrum entfernt. Für $k=2$ liegt $C'$ auf derselben Seite von $Z$. Sein Abstand ist
$$|ZC'|=2\cdot 6\,\text{cm}=12\,\text{cm}.$$
Du markierst $C'$ also auf der Geraden $ZC$ in $12\,\text{cm}$ Entfernung von $Z$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Ein Punkt $P$ liegt $4\,\text{cm}$ vom Zentrum entfernt. Bei $k=-1{,}5$ liegen $Z$, $P$ und $P'$ auf einer . Du trägst $P'$ auf der Seite von $Z$ im Abstand von ab.
Wie berechnest du Bildpunkte im Koordinatensystem?
Sind $Z=(z_x|z_y)$ und $P=(x|y)$ bekannt, berechnest du den Bildpunkt mit
$$P'=Z+k(P-Z).$$
In Koordinaten bedeutet das:
$$P'=(z_x+k(x-z_x)\mid z_y+k(y-z_y)).$$
Der Rechenweg hat drei Schritte: vom Zentrum zum Punkt gehen, diesen Weg mit $k$ multiplizieren und das Ergebnis wieder zum Zentrum addieren.
Gegeben sind $Z=(0|2)$, $A=(2|1)$ und $k=1{,}5$.
$$A'=(0+1{,}5(2-0)\mid 2+1{,}5(1-2))$$
$$A'=(3|0{,}5).$$
Kontrolle: $A'$ liegt auf derselben Seite von $Z$ wie $A$, weil $k$ positiv ist. Sein Abstand von $Z$ ist außerdem größer, weil $|k|>1$ gilt.
Wie verändern sich Figur, Länge, Fläche und Volumen?
Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Die Bildfigur hat dieselbe Form wie die Ausgangsfigur:
- Entsprechende Winkel bleiben gleich.
- Entsprechende Seiten sind parallel.
- Alle Längen werden mit $|k|$ multipliziert.
- Längenverhältnisse bleiben erhalten.
Für Flächen und Volumen wirkt der Faktor in mehreren Raumrichtungen gleichzeitig:
- Länge: $l'=|k|\cdot l$
- Fläche: $A'=k^2\cdot A$
- Volumen: $V'=|k|^3\cdot V$
Eine Seite ist $4{,}25\,\text{cm}$ lang und wird mit $k=0{,}5$ gestreckt:
$$a'=0{,}5\cdot4{,}25\,\text{cm}=2{,}125\,\text{cm}.$$
In einer zweiten Aufgabe hat die Bildfigur den Flächeninhalt $50\,\text{cm}^2$ und $k=5$. Weil $k^2=25$ gilt, rechnest du rückwärts:
$$A=\frac{50\,\text{cm}^2}{25}=2\,\text{cm}^2.$$
Der Flächeninhalt der Ausgangsfigur beträgt also $2\,\text{cm}^2$.
$k$ – $k^2$ – $k^3$: Längen ändern sich mit $|k|$, Flächen mit $k^2$ und Volumen mit $|k|^3$.
Wie bestimmst du Zentrum und Faktor?
Sind Ausgangsfigur und Bildfigur gegeben, kannst du die Streckung rückwärts untersuchen.
Das Streckungszentrum finden
- Verbinde einen Punkt mit seinem Bildpunkt, zum Beispiel $A$ mit $A'$.
- Zeichne eine zweite Gerade durch ein anderes entsprechendes Punktpaar, etwa $B$ und $B'$.
- Der gemeinsame Schnittpunkt dieser Geraden ist das Streckungszentrum $Z$.
Eine dritte Verbindung, etwa $CC'$, dient als Kontrolle: Auch sie muss durch $Z$ verlaufen.
Den Streckungsfaktor bestimmen
Aus entsprechenden Längen erhältst du zunächst den Betrag:
$$|k|=\frac{|A'B'|}{|AB|}$$
oder
$$|k|=\frac{|ZA'|}{|ZA|}.$$
Das Vorzeichen liest du an der Lage ab:
- gleiche Seite von $Z$: $k>0$
- gegenüberliegende Seiten von $Z$: $k<0$
Eine Ausgangsseite ist $5\,\text{cm}$ lang, die entsprechende Bildseite $15\,\text{cm}$. Daher gilt
$$|k|=\frac{15\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}=3.$$
Liegen entsprechende Punkte auf derselben Seite des Zentrums, ist $k=3$. Liegen sie auf entgegengesetzten Seiten, ist $k=-3$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zentrische Streckung
- Punktregel: $Z$, $P$ und $P'$ liegen auf einer Geraden; der Abstand wird mit $|k|$ multipliziert
- Streckungsfaktor: Vorzeichen bestimmt die Seite, Betrag die Vergrößerung oder Verkleinerung
- Ähnliche Figuren: Winkel bleiben gleich und entsprechende Seiten parallel
- Größenänderung: Länge mit $|k|$, Fläche mit $k^2$, Volumen mit $|k|^3$
- Rückwärts bestimmen: Zentrum durch Geradenschnitt, Faktor durch Längenquotient und Lage
Abschluss-Check
Wenn du bei jeder Aufgabe zuerst Zentrum, Vorzeichen und Betrag von $k$ klärst, kannst du Konstruktionen und Rechnungen zuverlässig miteinander verbinden.