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Strahlensätze: Regeln, Beispiele und Aufgaben
Mit den Strahlensätzen berechnest du unbekannte Längen, wenn zwei sich treffende Strahlen oder Geraden von parallelen Strecken geschnitten werden. Entscheidend ist die richtige Zuordnung entsprechender Strecken.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die Strahlensatzfiguren erkennen
In der ersten Grundfigur beginnen zwei Strahlen im Scheitelpunkt $S$. Auf dem ersten liegen nacheinander $A$ und $C$, auf dem zweiten $B$ und $D$. Die Verbindungsstrecken sind parallel:
$$\overline{AB}\parallel\overline{CD}$$
Dann ist das äußere Dreieck $SCD$ eine Vergrößerung des inneren Dreiecks $SAB$. Entsprechende Strecken haben deshalb denselben Vergrößerungsfaktor.
Die Parallelen dürfen auch auf verschiedenen Seiten von $S$ liegen. Dann bilden die beiden sich schneidenden Geraden eine X-Figur. Die gleichen Verhältnisgleichungen für Streckenlängen gelten, wenn du $A$ und $C$, $B$ und $D$ sowie $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ einander richtig zuordnest. Die Bezeichnungen „innen“ und „außen“ passen bei dieser Grundfigur nicht.
Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt $S$ ist der gemeinsame Ausgangs- oder Schnittpunkt der Strahlen beziehungsweise Geraden. Strecken wie $\overline{SC}$ werden von dort bis zum jeweiligen Punkt gemessen.
Ohne gemeinsamen Scheitelpunkt und parallele Verbindungsstrecken darfst du die Strahlensätze nicht anwenden.
Der erste Strahlensatz vergleicht Strahlenstrecken
Der erste Strahlensatz vergleicht entsprechende Abschnitte auf den beiden Strahlen:
$$\frac{\overline{SA}}{\overline{SC}}=\frac{\overline{SB}}{\overline{SD}}$$
In der Grundfigur mit beiden Parallelen auf derselben Seite reichen $\overline{SA}$ und $\overline{SB}$ bis zur inneren Parallelen. $\overline{SC}$ und $\overline{SD}$ reichen bis zur äußeren.
Gegeben sind $\overline{SA}=3\,\mathrm{cm}$, $\overline{SB}=5\,\mathrm{cm}$ und $\overline{SD}=10\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist $\overline{SC}=x$.
$$\frac{3}{x}=\frac{5}{10}$$
Kreuzmultiplizieren ergibt $3\cdot10=5x$, also:
$$x=6\,\mathrm{cm}$$
Das ist plausibel: Auf beiden Strahlen verdoppelt sich die Entfernung vom inneren zum äußeren Punkt.
Der zweite Strahlensatz bezieht die Parallelen ein
Der zweite Strahlensatz verbindet Strahlenstrecken mit den parallelen Verbindungsstrecken:
$$\frac{\overline{SA}}{\overline{SC}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{CD}}$$
Die zu $A$ führende Strecke gehört zur Parallelen durch $A$ und $B$. Die zu $C$ führende Strecke gehört zur Parallelen durch $C$ und $D$.
Gegeben sind $\overline{SA}=6\,\mathrm{cm}$, $\overline{SC}=9\,\mathrm{cm}$ und $\overline{AB}=4\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist $\overline{CD}=x$.
$$\frac{6}{9}=\frac{4}{x}$$
Aus $6x=9\cdot4$ folgt:
$$x=6\,\mathrm{cm}$$
Die äußere Parallele ist wie erwartet länger als die innere Parallele.
So rechnest du ohne Zuordnungsfehler
- Markiere Scheitelpunkt und Parallelen.
- Notiere gegebene und gesuchte Längen.
- Wähle den Satz: Nur Strecken auf den Strahlen bedeuten erster Satz; eine parallele Verbindungsstrecke bedeutet zweiter Satz.
- Ordne entsprechende Punkte und Strecken in derselben Reihenfolge zu.
- Bilde nötige Gesamtstrecken aus den Teilstrecken.
- Löse die Gleichung und prüfe Einheit sowie Größenordnung.
Liegt ein äußerer Punkt nach einem $3\,\mathrm{cm}$ langen Anfangsabschnitt und einem weiteren $3\,\mathrm{cm}$ langen Teilstück, beträgt die Gesamtstrecke vom Scheitel $6\,\mathrm{cm}$. Setze nicht nur das äußere Teilstück ein.
Du darfst Zähler und Nenner vertauschen, aber nur gleichzeitig auf beiden Seiten der Gleichung.
Mit dem Kehrsatz Parallelität prüfen
Beim Kehrsatz gehst du rückwärts vor: Sind die erforderlichen Verhältnisse entsprechender Strecken gleich, kannst du bei passender Punktanordnung auf Parallelität schließen.
Es gelten $\overline{SA}=3\,\mathrm{cm}$, $\overline{SC}=6\,\mathrm{cm}$, $\overline{SB}=4\,\mathrm{cm}$ und $\overline{SD}=8\,\mathrm{cm}$.
$$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\qquad\text{und}\qquad\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$
Die entsprechenden Verhältnisse sind gleich. Daher sind die Verbindungsgeraden durch $A,B$ und durch $C,D$ parallel.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Strahlensätze
- Voraussetzung: gemeinsamer Scheitel und Parallelen
- Grundfiguren: Parallelen auf gleicher oder verschiedener Seite
- Erster Satz: Strahlenstrecken vergleichen
- Zweiter Satz: parallele Strecken einbeziehen
- Rechenweg: zuordnen, lösen, prüfen
- Gesamtstrecken: Teilstücke addieren
- Kehrsatz: Parallelität folgern
Abschluss-Check
Du löst Strahlensatz-Aufgaben sicher, wenn du zuerst die Figur prüfst, dann entsprechende Strecken zuordnest und erst danach rechnest.