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Ähnlichkeit: Figuren erkennen und berechnen
Zwei geometrische Figuren sind ähnlich, wenn sie exakt dieselbe Form haben. Ihre Größe, Lage oder Orientierung darf verschieden sein. Entscheidend ist: Entsprechende Winkel sind gleich groß und alle entsprechenden Seiten werden mit demselben positiven Faktor verändert.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ähnliche Figuren?
Stell dir dasselbe Foto in zwei verschiedenen Größen vor: Die Bildbreite und die Bildhöhe ändern sich im gleichen Verhältnis. Das Bild wird nicht verzerrt. Genau diese Idee steckt hinter geometrischer Ähnlichkeit.
Ähnliche Figuren
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn ihre Form übereinstimmt. Dabei sind entsprechende Winkel gleich groß und entsprechende Seiten stehen alle im gleichen Verhältnis.
Nur „sieht ungefähr gleich aus“ reicht nicht. Bei ähnlichen Figuren müssen die Bedingungen für alle entsprechenden Teile gelten:
- Gleich liegende Winkel haben dieselbe Größe.
- Jede Bildseite entsteht aus der passenden Originalseite mit demselben Faktor.
- Verschieben, Drehen oder Spiegeln ändert die Ähnlichkeit nicht.
Ein Dreieck hat die Seitenlängen $4\,\mathrm{cm}$, $5\,\mathrm{cm}$ und $6\,\mathrm{cm}$. Ein zweites Dreieck hat die entsprechenden Seitenlängen $6\,\mathrm{cm}$, $7{,}5\,\mathrm{cm}$ und $9\,\mathrm{cm}$.
Die drei Verhältnisse sind gleich:
$$\frac{6}{4}=\frac{7{,}5}{5}=\frac{9}{6}=1{,}5$$
Alle Seiten wurden also mit $1{,}5$ multipliziert. Die Seitenbedingung für Ähnlichkeit ist erfüllt. Bei Dreiecken folgt aus drei proportionalen Seiten, dass die Dreiecke ähnlich sind.
Welche Seiten gehören zusammen?
Bevor du ein Verhältnis bildest, musst du entsprechende Seiten finden. Das sind Seiten, die in beiden Figuren dieselbe Rolle haben. Eine Drehung oder Spiegelung kann ihre Lage auf dem Blatt verändern.
So gehst du vor:
- Ordne gleiche Winkel einander zu.
- Beachte die Reihenfolge der Eckpunkte.
- Ordne dann die Seiten zwischen den entsprechenden Eckpunkten zu.
- Schreibe alle Verhältnisse in derselben Richtung, zum Beispiel immer Bildseite durch Originalseite.
Vergleiche nie Seiten nur deshalb, weil sie auf dem Blatt ähnlich liegen. Entscheidend ist ihre Rolle in der Figur.
Wie bestimmst du den Ähnlichkeitsfaktor?
Der Ähnlichkeitsfaktor oder Streckfaktor $k$ beschreibt, wie sich jede Länge vom Original zur Bildfigur ändert.
$$k=\frac{\text{Bildlänge}}{\text{Originallänge}}$$
Dabei gilt immer $k>0$:
- $k>1$: Die Bildfigur ist vergrößert.
- $0\lt k\lt1$: Die Bildfigur ist verkleinert.
- $k=1$: Die Figuren sind gleich groß.
Für entsprechende Seiten gilt beispielsweise:
$$\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}=k$$
Eine Originalseite ist $5\,\mathrm{cm}$ lang, die entsprechende Bildseite $3{,}5\,\mathrm{cm}$.
$$k=\frac{3{,}5\,\mathrm{cm}}{5\,\mathrm{cm}}=0{,}7$$
Die Einheit kürzt sich im Verhältnis. Weil $0\lt0{,}7\lt1$ gilt, ist die Bildfigur eine Verkleinerung. Jede Bildlänge beträgt $70\,\%$ der entsprechenden Originallänge.
Wie berechnest du eine fehlende Seitenlänge?
Ist $k$ bekannt, berechnest du jede Bildlänge mit derselben Multiplikation:
$$x'=x\cdot k$$
Suchst du umgekehrt die Originallänge, teilst du durch $k$:
$$x=\frac{x'}{k}$$
Ein Dreieck mit $a=10{,}2\,\mathrm{cm}$, $b=11{,}5\,\mathrm{cm}$ und $c=9\,\mathrm{cm}$ wird mit $k=2{,}5$ vergrößert.
$$a'=10{,}2\,\mathrm{cm}\cdot2{,}5=25{,}5\,\mathrm{cm}$$
$$b'=11{,}5\,\mathrm{cm}\cdot2{,}5=28{,}75\,\mathrm{cm}$$
$$c'=9\,\mathrm{cm}\cdot2{,}5=22{,}5\,\mathrm{cm}$$
Alle drei Seiten werden mit demselben Faktor vergrößert. Die Einheit bleibt eine Längeneinheit.
Du kannst auch Verhältnisse innerhalb beider Figuren vergleichen. Gehören $a$ zu $a'$ und $b$ zu $b'$, dann gilt:
$$\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}$$
Zum Beispiel ist $2{,}5:1=7{,}5:3=2{,}5$. Beide Seitenpaare haben innerhalb ihrer Figur dasselbe Verhältnis.
Was bleibt gleich und was ändert sich?
Ähnlichkeit erhält die Form, aber nicht zwingend die Größe.
| Eigenschaft | Bei ähnlichen Figuren |
|---|---|
| entsprechende Winkel | gleich groß |
| entsprechende Seitenlängen | mit demselben Faktor $k$ verändert |
| Lage | darf verschieden sein |
| Orientierung | darf durch Spiegelung verschieden sein |
| Größe | darf verschieden sein |
Eine zentrische Streckung erzeugt eine ähnliche Bildfigur: Von einem Streckzentrum aus werden alle Abstände mit demselben Faktor $k$ vervielfacht. Auch eine anschließende Verschiebung, Drehung oder Spiegelung ändert die Ähnlichkeit nicht.
Kongruenz
Kongruente Figuren haben dieselbe Form und dieselbe Größe. Kongruenz ist der Spezialfall der Ähnlichkeit mit $k=1$.
Darum ist jede kongruente Figur zu ihrem Gegenstück ähnlich. Umgekehrt müssen ähnliche Figuren nicht kongruent sein.
Für Dreiecke gibt es eine nützliche Abkürzung: Stimmen zwei Winkel eines Dreiecks mit zwei Winkeln eines anderen Dreiecks überein, dann stimmen auch die dritten Winkel überein. Die Dreiecke sind ähnlich.
Vertiefung: Wie verändern sich Fläche und Volumen?
Der Faktor $k$ beschreibt Längen. Bei Flächen wirkt er in zwei Richtungen, bei Volumina in drei Richtungen:
- Längen werden mit $k$ multipliziert.
- Flächeninhalte werden mit $k^2$ multipliziert.
- Volumina ähnlicher Körper werden mit $k^3$ multipliziert.
Eine ähnliche Figur wird mit $k=0{,}5$ verkleinert. Dann ist jede Länge halb so groß. Der Flächeninhalt wird mit
$$k^2=(0{,}5)^2=0{,}25$$
multipliziert und beträgt damit ein Viertel des ursprünglichen Flächeninhalts.
Bei einem ähnlichen Körper wird das Volumen mit
$$k^3=(0{,}5)^3=0{,}125$$
multipliziert und beträgt damit ein Achtel des ursprünglichen Volumens.
„Doppelte Länge“ bedeutet nicht „doppelte Fläche“: Bei $k=2$ ist der Flächenfaktor $2^2=4$ und der Volumenfaktor $2^3=8$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Ähnlichkeit
- Erkennen: gleiche Form und gleiche entsprechende Winkel
- Zuordnen: passende Eckpunkte und Seiten finden
- Berechnen: $k=\frac{\text{Bildlänge}}{\text{Originallänge}}$
- Längen: Faktor $k$
- Flächen: Faktor $k^2$
- Volumina: Faktor $k^3$
- Kongruenz: Spezialfall mit $k=1$