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Koeffizienten erkennen und richtig verwenden
Ein Koeffizient ist der Faktor, der zu einer Variablen oder zu einem Variablenterm gehört. In $3x$ ist also $3$ der Koeffizient von $x$.
Hier lernst du, Koeffizienten sicher zu erkennen, von Konstanten und Variablen zu unterscheiden und beim Zusammenfassen gleichartiger Terme zu nutzen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du einen Koeffizienten?
Ein Term wie $5x$ ist ein Produkt: $5 · x$. Die Zahl $5$ ist der Faktor, der zur Variablen $x$ gehört. Deshalb heißt sie Koeffizient.
Koeffizient
Ein Koeffizient ist ein Faktor, der einer Variablen oder einem anderen mathematischen Objekt zugeordnet ist. In $9x^2$ ist $9$ der Koeffizient von $x^2$.
Das Vorzeichen gehört zum Koeffizienten. In $-4y$ lautet der Koeffizient daher $-4$, nicht $4$.
Im Term $5x^2+3x+7$ findest du:
- $5$ als Koeffizienten von $x^2$,
- $3$ als Koeffizienten von $x$,
- $7$ als konstanten Term ohne Variable.
Entscheidend ist die Frage: Welcher Faktor multipliziert welchen Variablenterm?
Welche Koeffizienten sind nicht sofort sichtbar?
Manchmal wird der Faktor $1$ nicht geschrieben. Es gilt $x=1 · x$. Der Koeffizient von $x$ ist deshalb $1$.
Auch beim Minuszeichen steckt eine nicht ausgeschriebene Eins im Term: $-x=-1 · x$. Der Koeffizient von $-x$ ist $-1$.
Kein sichtbarer Zahlenfaktor bedeutet nicht „kein Koeffizient“: Bei $x$ ist er $1$, bei $-x$ ist er $-1$.
Im Term $2x^3+x^2-5x+7$ sind die Koeffizienten der Variablenterme:
- $2$ bei $x^3$,
- $1$ bei $x^2$,
- $-5$ bei $x$.
Die $7$ ist hier der konstante Term.
Wie unterscheiden sich Koeffizient, Variable und Parameter?
Die Begriffe beschreiben verschiedene Rollen:
- Die Variable kann innerhalb eines Terms verschiedene Werte annehmen. In $3x$ ist das $x$.
- Der Koeffizient ist der zugeordnete Faktor. In $3x$ ist das $3$.
- Eine Konstante ist ein fester Term ohne Variable, zum Beispiel $7$ in $3x+7$.
- Ein Parameter steht für auswählbare Werte und wird in einer konkreten Rechnung wie ein fester Wert behandelt.
Ein Zeichen kann zugleich Parameter und Koeffizient sein. In der Funktionsschar $f_k(x)=kx^3$ ist $k$ der Koeffizient von $x^3$, weil es diesen Term multipliziert. Zugleich ist $k$ ein Parameter, weil verschiedene Werte für $k$ gewählt werden können.
„Koeffizient“ und „Parameter“ schließen sich nicht aus. Koeffizient beschreibt die Rolle als Faktor eines Terms; Parameter beschreibt, dass ein Wert ausgewählt oder verändert werden kann.
Wie helfen Koeffizienten beim Zusammenfassen?
Gleichartige Terme besitzen denselben Variablenteil. Bei $2x$ und $5x$ ist dieser Teil jeweils $x$. Deshalb kannst du ihre Koeffizienten addieren.
Vereinfache $2x+5x$.
- Beide Summanden haben denselben Variablenteil $x$.
- Addiere die Koeffizienten: $2+5=7$.
- Behalte den Variablenteil bei.
$$2x+5x=7x$$
Probe mit $x=3$: Links erhältst du $2 · 3+5 · 3=6+15=21$. Rechts erhältst du $7 · 3=21$. Beide Seiten stimmen überein.
Nicht gleichartige Terme darfst du so nicht zusammenfassen. $2x+5y$ wird nicht zu $7xy$, denn die Variablenteile $x$ und $y$ sind verschieden.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Koeffizient
- erkennen: Faktor eines Variablenterms
- Vorzeichen: gehört zum Koeffizienten
- unsichtbar: $1$ bei $x$, $-1$ bei $-x$
- abgrenzen: Variable, Konstante, Parameter
- anwenden: gleichartige Terme zusammenfassen
Abschluss-Check
Prüfe nun, ob du Koeffizienten erkennen und verwenden kannst.