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Terme vereinfachen: Regeln, Beispiele und Übungen
Einen Term zu vereinfachen heißt: Du schreibst ihn kürzer und übersichtlicher, ohne seinen Wert zu verändern. Dafür löst du zuerst Klammern und Produkte auf. Danach fasst du nur gleichartige Terme zusammen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was beim Vereinfachen gleich bleiben muss
Term
Ein Term ist eine sinnvolle Rechenanweisung aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Eine Variable wie $x$ steht für eine Zahl, deren Wert noch unbekannt oder veränderlich sein kann.
Beim Vereinfachen entsteht ein äquivalenter Term. Das bedeutet: Ausgangsterm und Ergebnisterm haben bei jeder zulässigen Einsetzung denselben Wert.
Der Term $x+x+x$ lässt sich als $3x$ schreiben. Setzt du zum Beispiel $x=2$ ein, erhältst du auf beiden Seiten den Wert $6$.
Eine Probe mit Zahlen kann einen Rechenfehler aufdecken. Eine einzelne übereinstimmende Einsetzung beweist jedoch noch nicht, dass zwei Terme für alle zulässigen Werte gleich sind. Die Umformung muss zusätzlich durch gültige Rechenregeln begründet sein.
Gleichartige Terme erkennen und zusammenfassen
Bei einem Term wie $5x^2$ heißt die Zahl $5$ Koeffizient. Der Teil $x^2$ ist der Variablenteil.
Gleichartige Terme
Terme sind gleichartig, wenn ihr vollständiger Variablenteil übereinstimmt. Dazu gehören dieselben Variablen mit denselben Exponenten. Nur die Koeffizienten dürfen verschieden sein.
Deshalb sind $2x^2$ und $-5x^2$ gleichartig. Dagegen sind $x$ und $x^2$ sowie $xy$ und $xy^2$ nicht gleichartig. Die Reihenfolge der Faktoren spielt keine Rolle: $xy$ und $yx$ haben denselben Variablenteil.
Beim Addieren oder Subtrahieren gleichartiger Terme rechnest du nur mit den Koeffizienten. Der Variablenteil bleibt erhalten.
Vereinfache $2xy+x^2-4y+2x^2-5xy$.
- Ordne die gleichartigen Terme: $(2xy-5xy)+(x^2+2x^2)-4y$.
- Rechne mit den Koeffizienten: $(2-5)xy+(1+2)x^2-4y$.
- Das Ergebnis lautet $-3xy+3x^2-4y$.
Der Term $-4y$ bleibt allein stehen, weil kein weiterer Term den Variablenteil $y$ besitzt.
Bei Plus und Minus gilt: Nur gleiche Variablenteile dürfen zusammengefasst werden.
Klammern sicher auflösen
Vor einer Plusklammer bleibt jedes Vorzeichen in der Klammer erhalten. Vor einer Minusklammer steht gedanklich der Faktor $-1$: Jedes Vorzeichen in der Klammer wechselt.
$$+(a-b)=a-b$$
$$-(a-b)=-a+b$$
Steht ein anderer Faktor vor der Klammer, verwendest du das Distributivgesetz. Du multiplizierst jeden Summanden in der Klammer mit diesem Faktor.
$$a(b+c)=ab+ac$$
Vereinfache $-2(3x-4)+5x$.
- Multipliziere beide Summanden der Klammer mit $-2$: $-6x+8+5x$.
- Fasse die gleichartigen Terme zusammen: $(-6+5)x+8$.
- Das Ergebnis ist $-x+8$.
Das Plus vor der $8$ entsteht, weil das Produkt aus $-2$ und $-4$ positiv ist.
Produkte, Quotienten und Potenzen bearbeiten
Bei einer Multiplikation verarbeitest du Zahlen und Variablen getrennt. Anders als beim Addieren müssen die Variablenteile vorher nicht gleichartig sein.
Bei $3x·2x$ werden zuerst die Zahlen und dann die Variablen multipliziert:
$$3·2=6$$
$$x·x=x^2$$
Also gilt $3x·2x=6x^2$.
Bei Potenzen mit gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert. Beim Dividieren werden sie subtrahiert:
$$x^m·x^n=x^{m+n}$$
$$x^m:x^n=x^{m-n}$$
Für eine Division durch eine Variable musst du beachten, dass der Divisor nicht $0$ sein darf. So gilt $x^4:x^2=x^2$ nur für $x≠0$.
Ein nicht sichtbarer Exponent ist $1$. Deshalb ist $x·x=x^1·x^1=x^2$.
Einen Term systematisch vereinfachen und prüfen
Bei einem längeren Term hilft diese Reihenfolge:
- Löse Klammern von innen nach außen auf.
- Fasse Potenzen mit gleicher Basis zusammen.
- Führe Multiplikationen und Divisionen aus.
- Fasse gleichartige Summanden zusammen.
- Kontrolliere das Ergebnis durch Einsetzen.
Nicht benötigte Schritte lässt du aus. Operationen gleicher Priorität bearbeitest du von links nach rechts.
Vereinfache $2(x+3)-(x-4)+3x$.
Klammern auflösen:
$$2x+6-x+4+3x$$
Beim Entfernen der Minusklammer wechseln die Vorzeichen von $x$ und $-4$.
Gleichartige Terme zusammenfassen:
$$(2-1+3)x+(6+4)=4x+10$$
Probe mit $x=-2$:
Der Ausgangsterm ergibt
$$2(-2+3)-(-2-4)+3·(-2)=2+6-6=2.$$
Der vereinfachte Term ergibt
$$4·(-2)+10=-8+10=2.$$
Beide Werte stimmen überein. Die Probe stützt damit den zuvor durch Rechenregeln begründeten Rechenweg.
Sortiere nicht nur nach dem Aussehen. Prüfe zuerst den vollständigen Variablenteil und nimm beim Umordnen jedes Vorzeichen mit.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Terme vereinfachen
- Wert erhalten
- Klammern zuerst bearbeiten
- Produkte und Potenzen berechnen
- Gleichartige Terme zusammenfassen
- Vorzeichen sorgfältig mitnehmen
- Ergebnis durch Einsetzen kontrollieren
Abschluss-Check
Wenn du im Abschluss-Check unsicher warst, prüfe zuerst den Variablenteil, dann die Vorzeichen und zuletzt die Rechenreihenfolge.