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Ausklammern und Ausmultiplizieren einfach erklärt
Beim Ausmultiplizieren verteilst du einen Faktor auf alle Glieder in einer Klammer. Beim Ausklammern gehst du den Weg zurück: Du ziehst einen gemeinsamen Faktor vor die Klammer. Beide Umformungen beruhen auf dem Distributivgesetz und verändern den Wert des Terms nicht.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie hängen beide Umformungen zusammen?
Das Distributivgesetz beschreibt zwei entgegengesetzte Richtungen:
$$a(b+c)=ab+ac$$
$$a(b-c)=ab-ac$$
Von links nach rechts multiplizierst du aus. Von rechts nach links klammerst du aus.
Ausmultiplizieren
Beim Ausmultiplizieren wird der Faktor vor oder hinter einer Klammer mit jedem Glied in der Klammer multipliziert. Aus einem Produkt entsteht eine Summe oder Differenz.
Ausklammern
Beim Ausklammern wird ein gemeinsamer Faktor aller Glieder vor die Klammer gezogen. Aus einer Summe oder Differenz entsteht ein Produkt. Diese Umformung heißt auch Faktorisieren.
Der Faktor darf wegen des Kommutativgesetzes auf beiden Seiten der Klammer stehen. Deshalb bedeuten $5(3x+1)$ und $(3x+1)\cdot5$ dasselbe.
Ausmultiplizieren verteilt einen Faktor. Ausklammern sammelt einen gemeinsamen Faktor ein.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim wird eine Klammer aufgelöst. Beim entsteht eine Klammer. Beide Richtungen beruhen auf dem .
Wie multiplizierst du eine Klammer aus?
Gehe in drei Schritten vor:
- Multipliziere den äußeren Faktor mit dem ersten Glied der Klammer.
- Multipliziere ihn auch mit jedem weiteren Glied.
- Übernimm die Rechenzeichen und fasse nur gleichartige Glieder zusammen.
Multipliziere $5(3x+1)$ aus.
Der Faktor $5$ wird auf beide Glieder verteilt:
$$5(3x+1)=5\cdot3x+5\cdot1$$
Nun werden die Produkte berechnet:
$$5(3x+1)=15x+5$$
Der entscheidende Gedanke: Auch die $1$ ist ein Glied der Klammer und muss mit $5$ multipliziert werden.
Auch ein Term mit einer Variablen kann vor der Klammer stehen:
$$6x(2x+1)=6x\cdot2x+6x\cdot1$$
Weil $x\cdot x=x^2$ gilt, folgt:
$$6x(2x+1)=12x^2+6x$$
Bei einer Differenz bleibt das Minuszeichen erhalten:
$$2(5y-3x)=10y-6x$$
Steht nur ein Minus vor der Klammer, kannst du es als Faktor $-1$ auffassen:
$$-(3x-4)=-1\cdot(3x-4)=-3x+4$$
Dadurch wechseln alle Vorzeichen in der Klammer.
Wie klammerst du einen gemeinsamen Faktor aus?
Ein Faktor darf nur ausgeklammert werden, wenn er in jedem Glied vorkommt.
So gehst du vor:
- Suche einen gemeinsamen Zahlenfaktor.
- Suche Variablen, die in allen Gliedern vorkommen.
- Schreibe den gemeinsamen Faktor vor die Klammer.
- Teile jedes ursprüngliche Glied durch diesen Faktor. Die Quotienten kommen in die Klammer.
Klammere bei $9x+12xy$ möglichst weit aus.
Die Zahlen $9$ und $12$ haben den gemeinsamen Faktor $3$. Außerdem enthält jedes Glied ein $x$. Daher kannst du $3x$ ausklammern.
$$9x:3x=3$$
$$12xy:3x=4y$$
Damit gilt:
$$9x+12xy=3x(3+4y)$$
Zur Kontrolle multiplizierst du wieder aus: $3x\cdot3=9x$ und $3x\cdot4y=12xy$.
Bei einem größeren Term suchst du den größten gemeinsamen Zahlenfaktor und alle Variablen, die wirklich in jedem Glied stehen. So erhältst du beispielsweise:
$$33abc-44daf=11a(3bc-4df)$$
Die Faktoren $11$ und $a$ kommen in beiden Gliedern vor. Die übrigen Faktoren bleiben in der Klammer.
Nach dem Ausklammern muss jedes Glied in der Klammer genau das ergeben, was nach der Division durch den ausgeklammerten Faktor übrig bleibt.
Wie nutzt du das Gesetz zum geschickten Rechnen?
Das Distributivgesetz ist nicht nur für Variablenterme nützlich. Du kannst Zahlen zerlegen oder gemeinsame Faktoren zusammenziehen.
Berechne $7\cdot28$ über eine nahe runde Zahl.
Zerlege $28$ als $30-2$:
$$7\cdot28=7(30-2)$$
Multipliziere aus:
$$7\cdot28=7\cdot30-7\cdot2=210-14=196$$
Die Zerlegung ist hilfreich, weil sich $7\cdot30$ leicht im Kopf berechnen lässt.
Beim Ausklammern kannst du umgekehrt eine günstige Summe erzeugen:
$$17\cdot174+17\cdot26$$
Beide Produkte enthalten den Faktor $17$. Klammere ihn aus:
$$17\cdot174+17\cdot26=17(174+26)$$
In der Klammer entsteht die runde Zahl $200$:
$$17\cdot200=3400$$
Auch scheinbar längere Terme können sich dadurch stark vereinfachen:
$$3\cdot16+3(20-16)=3\bigl(16+20-16\bigr)=3\cdot20=60$$
Wie erkennst und kontrollierst du typische Fehler?
Nicht nur das erste Glied multiplizieren
Falsch wäre:
$$3x(2x-5)=6x^2-5$$
Der Faktor $3x$ wurde dabei nicht auf das zweite Glied verteilt. Richtig ist:
$$3x(2x-5)=6x^2-15x$$
Nur wirklich gemeinsame Faktoren ausklammern
Bei $9x+12xy$ darfst du $3x$ ausklammern. Ein $y$ darf dagegen nicht vor die Klammer, weil das erste Glied kein $y$ enthält.
Die Gegenrichtung als Probe nutzen
Nach dem Ausklammern multiplizierst du das Ergebnis wieder aus. Entsteht der Ausgangsterm, war die Umformung korrekt:
$$3x(3+4y)=9x+12xy$$
Nach dem Ausmultiplizieren kannst du umgekehrt prüfen, ob sich die ursprüngliche Klammer wieder herstellen lässt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Distributivgesetz
- Ausmultiplizieren: Faktor auf alle Glieder verteilen
- Produkt wird Summe oder Differenz
- Vorzeichen beim Verteilen beachten
- Ausklammern: gemeinsamen Faktor herausziehen
- Summe oder Differenz wird Produkt
- Quotienten stehen in der Klammer
- Anwendungen: Terme umformen und geschickt rechnen
- Kontrolle: Gegenrichtung ausführen und alle Glieder prüfen
Abschluss-Check
Du kannst eine Umformung jetzt in beide Richtungen lesen: Beim Ausmultiplizieren verteilst du, beim Ausklammern sammelst du. Wenn du unsicher bist, rechnest du den neuen Term in der Gegenrichtung zurück.