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Binomische Formeln einfach erklärt und angewendet
Binomische Formeln sind Abkürzungen zum Ausmultiplizieren bestimmter Klammern. Du erkennst zuerst das Klammermuster, setzt die beiden Teilausdrücke für $a$ und $b$ ein und vereinfachst anschließend. Rückwärts helfen dir die Formeln beim Faktorisieren.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die drei Muster erkennen und verstehen
Ein Binom ist ein Ausdruck aus zwei Teilen, zum Beispiel $x+3$ oder $2a-5b$. Die Buchstaben $a$ und $b$ in den Formeln können deshalb auch für zusammengesetzte Terme wie $3x$ stehen.
Binomische Formeln
Die drei Grundformeln lauten:
$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$
$$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$
$$ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $$
Warum entsteht in der ersten Formel der Mittelterm $2ab$? Schreibe das Quadrat als Produkt und multipliziere jeden Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten:
$$ (a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2 $$
Bei $(a-b)^2$ entstehen zwei negative gemischte Produkte. Das letzte Produkt $(-b)\cdot(-b)$ ist dagegen positiv:
$$ (a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2 $$
Bei der dritten Formel heben sich $-ab$ und $+ab$ gegenseitig auf:
$$ (a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2 $$
Das Quadrat einer Summe ist nicht nur die Summe der Quadrate. Bei $(a+b)^2$ gehört der Mittelterm $2ab$ immer dazu.
Binomische Formeln sicher anwenden
Gehe immer in drei Schritten vor:
- Bestimme die vollständigen Teilausdrücke $a$ und $b$.
- Setze sie mit Klammern in die passende Formel ein.
- Berechne Quadrate und Produkte und kontrolliere die Vorzeichen.
Multipliziere $(3x-4)^2$ aus.
Die Minusklammer im Quadrat zeigt die zweite binomische Formel. Dabei gilt $a=3x$ und $b=4$.
$$ (3x-4)^2=(3x)^2-2\cdot3x\cdot4+4^2 $$
Nun werden die drei Terme einzeln berechnet:
$$ (3x)^2=9x^2,\qquad -2\cdot3x\cdot4=-24x,\qquad 4^2=16 $$
Damit lautet das Ergebnis:
$$ (3x-4)^2=9x^2-24x+16 $$
Wichtig ist die Klammer um $3x$: Nicht nur die $3$, sondern der gesamte Ausdruck wird quadriert.
Die dritte Formel kann auch beim Kopfrechnen helfen. Die Faktoren $105$ und $95$ liegen gleich weit von $100$ entfernt:
$$ 105\cdot95=(100+5)(100-5)=100^2-5^2=10000-25=9975 $$
Die Formeln rückwärts zum Faktorisieren nutzen
Faktorisieren bedeutet, eine Summe oder Differenz als Produkt zu schreiben. Dazu vergleichst du den gegebenen Term mit der rechten Seite einer binomischen Formel.
Bei drei Termen prüfst du:
- Sind der erste und der letzte Term Quadrate?
- Ist der Mittelterm das doppelte Produkt ihrer Grundterme?
- Passt das Vorzeichen zur Plus- oder Minusformel?
Faktorisiere $x^2+6x+9$.
Der erste Term ist $x^2$, der letzte ist $9=3^2$. Das doppelte Produkt lautet $2\cdot x\cdot3=6x$ und stimmt mit dem Mittelterm überein.
$$ x^2+6x+9=(x+3)^2 $$
Auch eine Differenz aus genau zwei Quadraten lässt sich faktorisieren:
$$ x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3) $$
Nicht jeder Term mit drei Gliedern ist automatisch ein Binomquadrat. Erst wenn beide Außenterme Quadrate sind und der Mittelterm genau $\pm2ab$ entspricht, darfst du die erste oder zweite Formel rückwärts verwenden.
Einen Term quadratisch ergänzen
Manchmal fehlen bei einem Term die letzten Bestandteile eines Binomquadrats. Bei der quadratischen Ergänzung bestimmst du den zweiten Binomteil aus dem Mittelterm und ergänzt anschließend sein Quadrat.
Betrachte das Muster
$$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $$
Kennst du $a$ und den Mittelterm $-2ab$, kannst du $b$ bestimmen.
Ergänze $x^2-7xy$ zu einem Binomquadrat.
Der erste Binomteil ist $a=x$. Für den zweiten Teil muss gelten:
$$ 2\cdot x\cdot b=7xy $$
Daraus folgt $b=3{,}5y$. Ergänzt werden muss daher das Quadrat dieses Ausdrucks:
$$ (3{,}5y)^2=12{,}25y^2 $$
Der vollständige Term lautet:
$$ x^2-7xy+12{,}25y^2=(x-3{,}5y)^2 $$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Binomische Formeln
- Vorwärts anwenden
- Klammermuster erkennen
- Teilausdrücke einsetzen
- Vorzeichen prüfen
- Rückwärts anwenden
- Binomquadrat erkennen
- Differenz von Quadraten zerlegen
- Fehler vermeiden
- Mittelterm nicht vergessen
- zusammengesetzte Terme klammern
- letzten Term bei Minusklammer positiv lassen
- Quadratisch ergänzen
- zweiten Binomteil aus dem Mittelterm bestimmen
- Quadrat des zweiten Teils ergänzen
- Vorwärts anwenden
Abschluss-Check
Du bist sicher, wenn du vor jeder Rechnung das Muster benennst, die vollständigen Teilausdrücke einsetzt und besonders den Mittelterm sowie die Vorzeichen kontrollierst.