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2. binomische Formel: anwenden und faktorisieren
Die 2. binomische Formel löst das Quadrat einer Differenz auf:
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Du quadrierst beide Termblöcke. Dazwischen steht ihr doppeltes Produkt mit Minuszeichen. Die Formel funktioniert auch rückwärts: Du kannst einen passenden Term als Klammerquadrat schreiben.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum lautet die Formel so?
Das Quadrat einer Klammer bedeutet, dass du die Klammer mit sich selbst multiplizierst:
$$(a-b)^2=(a-b)(a-b)$$
Beim gewöhnlichen Ausmultiplizieren entsteht:
$$(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2$$
Die beiden gleichen gemischten Terme ergeben zusammen $-2ab$. Das Produkt $(-b)\cdot(-b)$ ist positiv. Deshalb lautet das Ergebnis:
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Erstes Quadrat – minus doppeltes Produkt – zweites Quadrat. Der letzte Term ist positiv, weil $(-b)\cdot(-b)=b^2$ gilt.
Die Flächenidee
Für nicht negative Längen mit $a\ge b$ kannst du die Formel an einem Quadrat verstehen. Ein Quadrat mit Seitenlänge $a$ hat die Fläche $a^2$. Entfernst du zwei Streifen mit der Fläche $ab$, wird ihr gemeinsames Eckquadrat $b^2$ zweimal abgezogen. Du musst es deshalb einmal ergänzen.
So bleibt die Fläche des inneren Quadrats mit Seitenlänge $a-b$:
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Die algebraische Formel gilt unabhängig von dieser Flächendarstellung für beliebige Zahlen und Terme.
Wie multizierst du eine Differenz aus?
Behandle $a$ und $b$ als ganze Termblöcke. Das ist besonders wichtig, wenn vor einer Variablen eine Zahl steht.
- Bestimme den ersten Termblock $a$ und den zweiten Termblock $b$.
- Berechne $a^2$.
- Berechne den Mittelterm $-2ab$.
- Berechne $b^2$.
- Vereinfache und prüfe die Vorzeichen.
Multipliziere $(3-2x)^2$ aus.
Die Termblöcke sind $a=3$ und $b=2x$:
$$(3-2x)^2=3^2-2\cdot3\cdot(2x)+(2x)^2$$
Nun berechnest du jeden Teil vollständig:
$$3^2=9,\qquad -2\cdot3\cdot(2x)=-12x,\qquad (2x)^2=4x^2$$
Damit gilt:
$$(3-2x)^2=9-12x+4x^2$$
Die Reihenfolge darfst du auch als $4x^2-12x+9$ schreiben.
Beim Quadrieren eines Produkts werden alle Faktoren quadriert: $(2x)^2=2^2x^2=4x^2$. Das Ergebnis $2x^2$ wäre falsch.
Wie funktioniert die Formel rückwärts?
Beim Faktorisieren verwandelst du einen passenden Term in ein Produkt beziehungsweise ein Klammerquadrat:
$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$
Prüfe dabei drei Merkmale:
- Der erste und der letzte Term sind Quadrate.
- Der Mittelterm ist negativ.
- Der Betrag des Mittelterms entspricht genau $2ab$.
Zwei passende Randquadrate allein reichen nicht. Erst die Kontrolle des Mittelterms zeigt, ob wirklich die 2. binomische Formel vorliegt.
Faktorisiere $16x^2-24xy+9y^2$.
Aus den Randtermen erhältst du die Termblöcke:
$$16x^2=(4x)^2,\qquad 9y^2=(3y)^2$$
Nun prüfst du den Mittelterm:
$$-2\cdot(4x)\cdot(3y)=-24xy$$
Alle drei Teile passen. Deshalb gilt:
$$16x^2-24xy+9y^2=(4x-3y)^2$$
Auch eine ungewohnte Reihenfolge darfst du zuerst ordnen:
$$-2a+1+a^2=a^2-2a+1=(a-1)^2$$
Welche Fehler solltest du vermeiden?
Das Quadrat verteilt sich nicht einfach
Die falsche Abkürzung
$$(a-b)^2=a^2-b^2$$
lässt den Mittelterm weg. Richtig ist:
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Der letzte Term bleibt positiv
Das Minus der Klammer erscheint beim Mittelterm. Beim letzten Term werden jedoch zwei negative Faktoren multipliziert. Daher steht dort $+b^2$ und nicht $-b^2$.
Ganze Termblöcke werden quadriert
Bei $(5-3x)^2$ ist der zweite Termblock $3x$. Deshalb gilt $(3x)^2=9x^2$.
Multipliziere $(4-z)^2$ aus:
$$(4-z)^2=4^2-2\cdot4\cdot z+z^2=16-8z+z^2$$
Eine Probe mit $z=1$ bestätigt das Ergebnis: Links erhältst du $(4-1)^2=9$, rechts $16-8+1=9$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- 2. binomische Formel
- Ausgangsform: $(a-b)^2$
- Ergebnis: $a^2-2ab+b^2$
- Herleitung: gewöhnlich ausmultiplizieren
- Vorwärts: Differenzquadrat auflösen
- Rückwärts: passenden Term faktorisieren
- Kontrolle: Termblöcke, Mittelterm und Vorzeichen prüfen
Die Formel ist keine neue Rechenart, sondern eine zuverlässige Abkürzung für das Ausmultiplizieren. Wenn du sie vergessen hast, kannst du sie jederzeit aus $(a-b)(a-b)$ herleiten.
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Fragen begründen kannst, beherrschst du die Formel in beide Richtungen: Du kannst Differenzquadrate ausmultiplizieren und passende Terme faktorisieren.