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Faktorisieren: Terme sicher in Produkte umformen
Faktorisieren bedeutet: Du verwandelst eine Summe oder Differenz in ein Produkt. Dazu klammerst du einen gemeinsamen Faktor aus oder liest eine passende binomische Formel rückwärts. Durch Ausmultiplizieren prüfst du dein Ergebnis.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Gemeinsame Faktoren ausklammern
Siehst du in jedem Summanden dieselbe Zahl, dieselbe Variable oder beides? Dann kannst du diesen gemeinsamen Faktor vor eine Klammer ziehen. Grundlage ist das Distributivgesetz:
$$a\cdot b+a\cdot c=a\cdot(b+c)$$
Beim Faktorisieren liest du diese Gleichung von links nach rechts. Beim Ausmultiplizieren gehst du zurück.
Faktorisiere $6x^3+2x^2+4x$.
- Die größte Zahl, die in $6$, $2$ und $4$ steckt, ist $2$.
- In jedem Summanden steckt mindestens ein Faktor $x$.
- Daher klammerst du $2x$ aus. Du teilst dazu jeden Summanden durch $2x$:
$$6x^3:2x=3x^2,\qquad 2x^2:2x=x,\qquad 4x:2x=2$$
Also gilt:
$$6x^3+2x^2+4x=2x(3x^2+x+2)$$
Die Probe durch Ausmultiplizieren liefert wieder den Ausgangsterm.
Was vor der Klammer steht, muss beim Ausmultiplizieren jeden Summanden in der Klammer treffen.
Binomische Formeln rückwärts nutzen
Manche Terme passen zu den Summen- oder Differenzseiten der drei binomischen Formeln. Rückwärts gelesen entstehen Produkte:
$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$
$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$
$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$
Für die erste oder zweite Formel reichen zwei äußere Quadrate allein nicht. Der mittlere Summand muss genau $2ab$ oder $-2ab$ sein.
Faktorisiere $4x^2+4xy+y^2$.
- $4x^2=(2x)^2$, also ist $a=2x$.
- $y^2$ ist das zweite Quadrat, also ist $b=y$.
- Die Kontrolle ergibt $2ab=2\cdot2x\cdot y=4xy$.
- Alle Zeichen passen zur ersten binomischen Formel.
Daher gilt:
$$4x^2+4xy+y^2=(2x+y)^2$$
Bei $4r^2+6rs+9s^2$ sind die äußeren Summanden zwar $(2r)^2$ und $(3s)^2$. Der nötige Mittelterm wäre aber
$$2\cdot2r\cdot3s=12rs$$
und nicht $6rs$. Deshalb passt keine binomische Formel direkt.
Das passende Verfahren wählen und prüfen
Gehe in dieser Reihenfolge vor:
- Gemeinsamen Faktor suchen: Steckt in allen Summanden dieselbe Zahl oder Variable?
- Drei Summanden prüfen: Sind der erste und der letzte Summand Quadrate und stimmt der Mittelterm mit $\pm2ab$ überein?
- Zwei Summanden prüfen: Liegt eine Differenz zweier Quadrate vor?
- Probe machen: Multipliziere die Produktform aus. Sie muss exakt den Ausgangsterm ergeben.
Ein Term kann nach dem Ausklammern noch weiter vereinfacht werden. Bei $5x-3x$ ergibt das Ausklammern zunächst $x(5-3)$ und danach $2x$.
Faktorisiere $49-81x^2$.
Es gibt keinen gemeinsamen Faktor außer $1$. Der Term besteht aus zwei Quadraten mit einem Minuszeichen:
$$49=7^2,\qquad 81x^2=(9x)^2$$
Mit der dritten binomischen Formel folgt:
$$49-81x^2=(7+9x)(7-9x)$$
Die Probe liefert $49-63x+63x-81x^2=49-81x^2$. Die gemischten Terme heben sich auf.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Ausklammern suchst du einen . Bei drei Summanden kontrollierst du für ein binomisches Quadrat besonders den . Eine Faktorisierung prüfst du durch .
Mit der Produktform Gleichungen lösen
Warum ist die Produktform nützlich? Ein Produkt ist genau dann $0$, wenn mindestens einer seiner Faktoren $0$ ist. Das heißt Satz vom Nullprodukt.
Löse $x^2+3x=0$.
Zuerst klammerst du $x$ aus:
$$x^2+3x=x(x+3)$$
Damit lautet die Gleichung:
$$x(x+3)=0$$
Nun setzt du jeden Faktor gleich $0$:
$$x=0\qquad\text{oder}\qquad x+3=0$$
Aus $x+3=0$ folgt $x=-3$. Die Lösungen sind also $x=0$ und $x=-3$. Einsetzen bestätigt beide Lösungen.
Der Satz vom Nullprodukt gilt für ein Produkt. Eine Summe wie $x^2+3x$ musst du deshalb zuerst faktorisieren.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Faktorisieren
- Ausklammern
- gemeinsamen Faktor suchen
- jeden Summanden teilen
- Binomische Formeln rückwärts
- Quadrate und Mittelterm prüfen
- Vorzeichen beachten
- Ergebnis nutzen
- durch Ausmultiplizieren prüfen
- Nullprodukt lösen
- Ausklammern