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1. binomische Formel: Erklärung und Übungen
Die 1. binomische Formel löst das Quadrat einer Summe auf:
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Du quadrierst also nicht nur die beiden Summanden. Dazwischen entsteht zusätzlich das doppelte Produkt $2ab$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum entsteht der Mittelterm?
Das Quadrat einer Klammer bedeutet, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert wird:
$$(a+b)^2=(a+b)(a+b)$$
Nun wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert:
$$(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2$$
Weil $ab=ba$ gilt, sind die beiden gemischten Produkte gleich. Zusammen ergeben sie $2ab$:
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Erstes Quadrat – doppeltes Produkt – zweites Quadrat:
$$a^2+2ab+b^2$$
Für $(x+9)^2$ sind die beiden Teilterme $a=x$ und $b=9$.
$$(x+9)^2=x^2+2\cdot x\cdot 9+9^2=x^2+18x+81$$
Der Term $18x$ entsteht zweimal: einmal als $x\cdot9$ und einmal als $9\cdot x$.
So setzt du Teilterme richtig ein
Gehe bei einer Aufgabe in drei Schritten vor:
- Bestimme den vollständigen ersten und zweiten Teilterm.
- Setze beide in $a^2+2ab+b^2$ ein.
- Berechne die Quadrate und das Doppelprodukt.
Löse $(2x+5)^2$ auf.
Die vollständigen Teilterme sind $a=2x$ und $b=5$:
$$(2x+5)^2=(2x)^2+2\cdot(2x)\cdot5+5^2$$
Nun wird vereinfacht:
$$(2x)^2=4x^2,\qquad 2\cdot(2x)\cdot5=20x,\qquad 5^2=25$$
Damit gilt:
$$(2x+5)^2=4x^2+20x+25$$
Entscheidend ist, den ganzen Term $2x$ zu quadrieren. Deshalb ist $(2x)^2=4x^2$ und nicht $2x^2$.
Auch ein Term mit einer Potenz wird als Ganzes eingesetzt:
$$(y^2+x)^2=(y^2)^2+2\cdot y^2\cdot x+x^2=y^4+2xy^2+x^2$$
Das Flächenbild erklärt die Formel
Stell dir ein Quadrat mit der Seitenlänge $a+b$ vor. Seine Gesamtfläche ist $(a+b)^2$.
Für das Flächenbild müssen $a$ und $b$ nichtnegative Längen sein. Die algebraische Formel selbst gilt dagegen für beliebige reelle Terme.
Teilst du das Quadrat an den Stellen $a$ und $b$, erhältst du vier Flächen:
- ein Quadrat mit der Fläche $a^2$,
- zwei Rechtecke mit der Fläche $ab$,
- ein Quadrat mit der Fläche $b^2$.
Die Summe der Teilflächen lautet daher:
$$a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$$
Gesamtfläche und Summe der Teilflächen beschreiben dasselbe Quadrat. Deshalb gilt $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
Rückwärts ein Binom erkennen
Die Formel funktioniert auch rückwärts:
$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$
Prüfe einen Term mit drei Summanden so:
- Ist der erste Summand ein Quadrat $a^2$?
- Ist der letzte Summand ein Quadrat $b^2$?
- Ist der mittlere Summand genau $2ab$?
Nur wenn alle drei Prüfungen passen, liegt die 1. binomische Formel vor.
Untersuche $x^2+6x+9$.
Aus $x^2$ folgt $a=x$. Aus $9=3^2$ folgt $b=3$. Das Doppelprodukt passt ebenfalls:
$$2ab=2\cdot x\cdot3=6x$$
Daher gilt:
$$x^2+6x+9=(x+3)^2$$
Auch $25+10x+x^2$ lässt sich erkennen. Ordne die Summanden zunächst übersichtlich:
$$25+10x+x^2=x^2+10x+25$$
Hier sind $a=x$ und $b=5$, denn $2\cdot x\cdot5=10x$. Also:
$$25+10x+x^2=(x+5)^2$$
Typische Fehler erkennen und verbessern
Der häufigste Fehler lautet:
$$(a+b)^2=a^2+b^2$$
Das ist im Allgemeinen falsch, weil die beiden gemischten Produkte fehlen.
Ein Gegenbeispiel genügt: Setze $a=2$ und $b=3$ ein.
$$(2+3)^2=25$$
Die fehlerhafte Rechnung ergäbe dagegen:
$$2^2+3^2=4+9=13$$
Da $25\ne13$ ist, kann die verkürzte Behauptung nicht stimmen.
Weitere Fehlerquellen sind:
- Das Doppelprodukt $2ab$ wird vergessen.
- Nur die Variable statt des vollständigen Terms wird quadriert.
- Beim Rückwärtsrechnen werden nur die Quadrate geprüft, nicht aber der Mittelterm.
Zwei passende Quadrate allein reichen nicht. Der Mittelterm muss genau das doppelte Produkt ihrer Grundterme sein.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- 1. binomische Formel
- Vorwärts: $(a+b)^2$ auflösen
- Herleitung: jede Klammer mit jeder multiplizieren
- Flächenbild: $a^2+ab+ab+b^2$
- Einsetzen: vollständige Teilterme verwenden
- Rückwärts: Quadrate und Mittelterm prüfen
- Fehlerkontrolle: $2ab$ nicht vergessen
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Fragen begründen kannst, beherrschst du die Formel nicht nur auswendig: Du kannst sie herleiten, anwenden und rückwärts erkennen.