Mit Google fortfahren
3. binomische Formel: Erklärung und Übungen
Die 3. binomische Formel lautet $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Du kannst sie anwenden, wenn beide Klammern dieselben vollständigen Terme enthalten und sich nur das Rechenzeichen zwischen ihnen unterscheidet.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du die 3. binomische Formel?
Achte auf zwei Klammern mit demselben ersten und demselben zweiten Term:
$$(a+b)(a-b)$$
In einer Klammer steht ein Plus, in der anderen ein Minus. Die Reihenfolge der beiden Faktoren darf vertauscht sein:
$$(a-b)(a+b)=(a+b)(a-b)$$
Vollständiger Term
Ein vollständiger Term ist das ganze „Paket“, das an der Stelle von $a$ oder $b$ steht. In $(2x+3y)(2x-3y)$ sind $2x$ und $3y$ die vollständigen Terme.
Beispiele für passende Strukturen:
- $(x+5)(x-5)$
- $(2a+3)(2a-3)$
- $(b-x)(b+x)$
Kein passendes Muster ist $(x+5)(x-4)$: Die zweiten Terme sind verschieden.
Warum verschwinden die gemischten Terme?
Multipliziere zunächst jeden Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten:
$$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2$$
Die gemischten Terme $-ab$ und $+ab$ ergeben zusammen null. Übrig bleibt:
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$
Plusklammer mal Minusklammer ergibt erstes Quadrat minus zweites Quadrat. Einen Mittelterm gibt es nicht.
Die Formel lässt sich auch als Flächenbeziehung verstehen, wenn $a$ und $b$ positive Längen mit $a>b$ sind: Eine Fläche der Größe $a^2-b^2$ ist ein großes Quadrat mit Fläche $a^2$, aus dem ein kleineres Quadrat mit Fläche $b^2$ entfernt wurde. Durch Zerlegen und Umlegen entsteht daraus ein Rechteck mit den Seitenlängen $a+b$ und $a-b$. Deshalb haben $a^2-b^2$ und $(a+b)(a-b)$ denselben Wert.
Wie wendest du die Formel vorwärts an?
Gehe in drei Schritten vor:
- Prüfe das Plus-Minus-Muster.
- Quadriere den vollständigen ersten Term.
- Ziehe das Quadrat des vollständigen zweiten Terms ab.
Vereinfache $(2x+3y)(2x-3y)$.
Die vollständigen Terme sind $2x$ und $3y$:
$$(2x+3y)(2x-3y)=(2x)^2-(3y)^2$$
Nun werden jeweils Zahl und Variable quadriert:
$$(2x)^2=4x^2 \quad\text{und}\quad (3y)^2=9y^2$$
Damit lautet das Ergebnis:
$$4x^2-9y^2$$
Auch ein negativer vollständiger Term wird als Ganzes quadriert:
$$(-q+2f)(-q-2f)=(-q)^2-(2f)^2=q^2-4f^2$$
Ein häufiger Fehler ist $(3x)^2=3x^2$. Richtig ist $(3x)^2=3^2\cdot x^2=9x^2$.
Wie verwendest du die Formel rückwärts?
Rückwärts heißt die Umformung Faktorisieren: Aus einer Differenz von Quadraten entsteht ein Produkt.
$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$
Faktorisiere $x^2-16$.
Beide Teile sind Quadrate:
$$x^2=x^2 \quad\text{und}\quad 16=4^2$$
Setze die Quadratbasen in eine Plus- und eine Minusklammer ein:
$$x^2-16=(x+4)(x-4)$$
Zur Kontrolle kannst du die Klammern wieder auflösen. Dabei entsteht erneut $x^2-16$.
Nicht jede Summe oder Differenz lässt sich so faktorisieren. Das Muster verlangt ausdrücklich Quadrat minus Quadrat.
Wie hilft die Formel beim Kopfrechnen?
Zwei Zahlen mit derselben Mitte lassen sich als $m+d$ und $m-d$ schreiben:
$$(m+d)(m-d)=m^2-d^2$$
Berechne $105\cdot95$ im Kopf.
Die gemeinsame Mitte ist $100$. Beide Zahlen haben den Abstand $5$:
$$105\cdot95=(100+5)(100-5)$$
Wende die 3. binomische Formel an:
$$100^2-5^2=10000-25=9975$$
Also ist $105\cdot95=9975$.
Auch $32\cdot28$ liegt symmetrisch um eine Mitte:
$$32\cdot28=(30+2)(30-2)=30^2-2^2=900-4=896$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- 3. binomische Formel
- Muster: $(a+b)(a-b)$
- Ergebnis: $a^2-b^2$
- Begründung: $-ab+ab=0$
- Vorwärts: Klammern auflösen
- Rückwärts: Differenz von Quadraten faktorisieren
- Anwendung: symmetrische Produkte im Kopf berechnen
- Fehlerkontrolle: vollständige Terme quadrieren
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Fragen begründen kannst, kannst du die Formel erkennen, vorwärts und rückwärts anwenden sowie für passende Kopfrechnungen nutzen.