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Klammern auflösen: Regeln und Übungen
Beim Auflösen einer Klammer entscheidest du zuerst, was direkt vor der Klammer steht. Ein Plus lässt die Vorzeichen unverändert, ein Minus vor einer Summe oder Differenz kehrt sie um, und ein Faktor wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert. Bei zwei Klammern wird jeder Summand der ersten mit jedem Summanden der zweiten multipliziert.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Regel passt?
Klammern zeigen, was zusammengehört. Bei reinen Zahlen rechnest du den Klammerinhalt oft zuerst aus:
$3\cdot(4+2)=3\cdot6=18$.
Enthält die Klammer eine Variable, kannst du ihren Inhalt meist nicht zu einer Zahl berechnen. Dann löst du sie nach einer Regel auf.
Summand
Summanden sind die Teile einer Summe oder Differenz, die durch Plus- oder Minuszeichen miteinander verbunden sind. In $2x-5$ sind $2x$ und $-5$ die beiden Summanden.
Gehe immer in dieser Reihenfolge vor:
- Beginne bei verschachtelten Klammern mit der innersten Klammer.
- Prüfe das Zeichen oder den Faktor direkt vor der Klammer.
- Wende die passende Regel an.
- Fasse gleichartige Terme zusammen.
- Kontrolliere besonders die Vorzeichen.
Die Frage „Was steht direkt vor der Klammer?“ führt dich zur passenden Regel.
Plus- und Minusklammern unterscheiden
Steht ein Plus vor der Klammer, darfst du die Klammer entfernen. Die Vorzeichen innen bleiben gleich:
$$5+(x-2)=5+x-2$$
Steht ein Minus vor einer Summe oder Differenz, wechseln alle Vorzeichen in der Klammer:
$$-(a+b)=-a-b$$
$$-(a-b)=-a+b$$
Du kannst das Minus als Faktor $-1$ verstehen. Dadurch wird jeder Summand mit $-1$ multipliziert.
Löse $y-(4y+6)$ auf und vereinfache.
Zuerst löst du die Minusklammer auf:
$$y-(4y+6)=y-4y-6$$
Nun fasst du $y$ und $-4y$ zusammen. Beide sind gleichartige Terme, weil sie dieselbe Variable mit derselben Potenz enthalten:
$$y-4y-6=-3y-6$$
Einen Faktor ausmultiplizieren
Steht ein Faktor vor der Klammer, verwendest du das Distributivgesetz. Du multiplizierst den Faktor mit jedem Summanden in der Klammer:
$$a(b+c)=ab+ac$$
$$a(b-c)=ab-ac$$
Das Vorzeichen gehört zum Faktor. Ein negativer Faktor muss deshalb vollständig mit jedem Summanden multipliziert werden.
Löse $-3(2x-5)$ auf.
Multipliziere $-3$ zuerst mit $2x$ und dann mit $-5$:
$$-3(2x-5)=(-3)\cdot2x+(-3)\cdot(-5)$$
$$=-6x+15$$
Beim zweiten Produkt entsteht ein Plus, weil Minus mal Minus Plus ergibt.
Schreibe bei einem negativen Faktor die Teilprodukte aus. So übersiehst du das doppelte Minus nicht.
Zwei Klammern und verschachtelte Klammern
Bei einem Produkt aus zwei Klammern multiplizierst du jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten:
$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$
Multipliziere $(2a-3)(a+5)$ aus.
Bilde alle vier Produkte:
$$(2a-3)(a+5)=2a\cdot a+2a\cdot5-3\cdot a-3\cdot5$$
$$=2a^2+10a-3a-15$$
Fasse die gleichartigen Terme $10a$ und $-3a$ zusammen:
$$=2a^2+7a-15$$
Bei verschachtelten Klammern arbeitest du von innen nach außen.
Berechne $20-(8+(4-2))$.
Zuerst kommt die innerste Klammer:
$$20-(8+(4-2))=20-(8+2)$$
Dann berechnest du die verbliebene Klammer:
$$20-(8+2)=20-10=10$$
Vertiefung: Eine Klammer im Quadrat
Die Potenz $2$ bedeutet, dass der ganze Klammerausdruck mit sich selbst multipliziert wird:
$$(4-x)^2=(4-x)(4-x)$$
Danach gilt dieselbe Regel wie bei zwei Klammern:
$$(4-x)^2=16-4x-4x+x^2=x^2-8x+16$$
Ergebnisse prüfen und selbst anwenden
Eine Umformung verändert den Wert eines Terms nicht. Deshalb kannst du dein Ergebnis durch Einsetzen prüfen: Wähle eine einfache Zahl für die Variable und berechne den ursprünglichen sowie den umgeformten Term.
Prüfe $-3(2x-5)=-6x+15$ mit $x=2$.
Ursprünglicher Term:
$$-3(2\cdot2-5)=-3(-1)=3$$
Umgeformter Term:
$$-6\cdot2+15=-12+15=3$$
Beide Seiten ergeben $3$. Die Probe spricht dafür, dass die Umformung stimmt. Sie ersetzt aber nicht die sorgfältige Anwendung der Regel.
Löse nun selbst:
- $7-(2x-3)$
- $5x+(3x-2)$
- $(x+4)(x+1)$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $7-(2x-3)$ wechseln wegen der Minusklammer Vorzeichen. Das Ergebnis ist . Der Term $5x+(3x-2)$ wird zu . Das Produkt $(x+4)(x+1)$ ergibt .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Klammern auflösen
- Plus davor: Vorzeichen bleiben
- Minus davor: Vorzeichen wechseln
- Faktor davor: jeden Summanden multiplizieren
- Zwei Klammern: alle Teilprodukte bilden
- Verschachtelte Klammern: innen beginnen
- Danach: gleichartige Terme zusammenfassen
- Kontrolle: Vorzeichen prüfen und Zahl einsetzen
Abschluss-Check
Wenn du vor jedem Schritt das Zeichen oder den Faktor direkt vor der Klammer prüfst, vermeidest du die häufigsten Vorzeichenfehler.