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Terme verstehen, berechnen und vereinfachen
Ein Term ist ein mathematisch sinnvoller Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern. Ein Term enthält kein Relationszeichen wie =, < oder >; mit einem Gleichheitszeichen verbundene Terme bilden eine Gleichung.
Hier lernst du, Terme zu erkennen, ihre Werte zu berechnen und sie regelgerecht zu vereinfachen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Einen Term sicher erkennen
Term
Ein Term ist eine vollständige, mathematisch sinnvolle Zeichenfolge. Er kann Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern enthalten. Auch eine einzelne Zahl oder Variable ist ein Term.
Beispiele für Terme sind 7, $x$, $3+x$ und $25-(x+7)$. Dagegen ist $5+x=12$ eine Gleichung: Links und rechts vom Gleichheitszeichen stehen jeweils Terme, dazwischen wird ihre Gleichheit behauptet.
4 + ist kein Term, weil der Rechenausdruck unvollständig ist. Auch zwei Rechenzeichen direkt hintereinander oder eine schließende Klammer ohne passende öffnende Klammer ergeben keinen sinnvoll gebildeten Term.
Eine Division durch $0$ ist nicht definiert. Deshalb ist ein Ausdruck mit $0$ als Divisor nicht zulässig. Der Term $0:15$ ist dagegen erlaubt und hat den Wert $0$.
Termwerte richtig berechnen
Ein Term ohne Variable hat einen festen Zahlenwert. In einem Term mit Variable setzt du zuerst einen vorgegebenen Wert für die Variable ein. Der dadurch entstehende Zahlenwert heißt Termwert.
Rechne in dieser Reihenfolge:
- Klammern,
- Potenzen,
- Multiplikation und Division,
- Addition und Subtraktion.
Berechne $2+3\cdot4$. Die Multiplikation kommt vor der Addition:
$$2+3\cdot4=2+12=14$$
Für $3x+1$ und $x=4$ setzt du $4$ für $x$ ein:
$$3\cdot4+1=12+1=13$$
Der Termwert ist $13$.
Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich. Einsetzen ändert diese Reihenfolge nicht.
Gleichartige Terme zusammenfassen
In $4x$ heißt $4$ Koeffizient. Das ist die Zahl vor dem Variablenteil. Gleichartige Terme besitzen denselben Variablenteil einschließlich aller Exponenten. Deshalb sind $4x$ und $2x$ gleichartig, aber $x$ und $x^2$ nicht.
Beim Addieren oder Subtrahieren gleichartiger Terme rechnest du nur mit den Koeffizienten. Der gemeinsame Variablenteil bleibt erhalten.
Vereinfache $4+4x+2x+6$:
$$4+4x+2x+6=(4+6)+(4x+2x)=10+6x$$
Die Zahlen werden mit Zahlen und die $x$-Terme mit $x$-Termen zusammengefasst. $10$ und $6x$ bleiben getrennt.
Ein weiteres Beispiel:
$$9x^3-11x^3=-2x^3$$
Bei einer Multiplikation rechnest du Zahlenfaktoren miteinander und Variablenfaktoren miteinander:
$$4\cdot3\cdot x\cdot y=12xy$$
$$4\cdot3\cdot x\cdot x=12x^2$$
Für Potenzen derselben Basis gilt beim Multiplizieren: Die Exponenten werden addiert, zum Beispiel $x^2\cdot x^3=x^5$.
Klammern korrekt auflösen
Eine Plusklammer kannst du ohne Änderung weglassen:
$$25+(x+7)=25+x+7=32+x$$
Bei einer Minusklammer wechseln alle Vorzeichen in der Klammer. Das Minus wirkt wie der Faktor $-1$:
$$25-(x+7)=25-x-7=18-x$$
Steht ein anderer Faktor vor der Klammer, nutzt du das Distributivgesetz: Multipliziere jedes Klammerglied mit dem äußeren Faktor.
Beim positiven Faktor $3$ gilt:
$$25+3(x+7)=25+3x+3\cdot7=46+3x$$
Beim negativen Faktor $-3$ gilt:
$$25-3(x+7)=25-3x-3\cdot7=4-3x$$
In beiden Fällen wird auch die $7$ mit dem äußeren Faktor multipliziert.
Markiere gedanklich jedes Glied in der Klammer. Der äußere Faktor muss auf jedes Glied verteilt werden.
Gleichwertigkeit prüfen und Terme aufstellen
Zwei Terme sind gleichwertig, wenn sie für jeden zulässigen Variablenwert denselben Wert besitzen. So sind $3+x$ und $x+3$ gleichwertig, weil die Reihenfolge bei einer Addition vertauscht werden darf.
Einsetzen eignet sich als Kontrolle: Unterschiedliche Ergebnisse für nur einen Wert beweisen, dass zwei Terme nicht gleichwertig sind. Gleiche Ergebnisse für einige ausgewählte Werte sind dagegen noch kein allgemeiner Beweis. Eine regelgerechte Umformung, etwa mit dem Distributivgesetz, zeigt die Gleichwertigkeit für alle zulässigen Werte.
Die Gesamtzahl der Beine von Elefanten, Giraffen und Straußen lässt sich mit Variablen beschreiben. Stehen $e$, $g$ und $s$ für die jeweiligen Tierzahlen, lautet ein passender Term:
$$4e+4g+2s$$
Jedes Produkt beschreibt eine Tierart: Anzahl der Tiere mal Beine pro Tier. Die drei Produkte werden addiert. Obwohl $e$ und $g$ denselben Koeffizienten haben, sind $4e$ und $4g$ nicht gleichartig, weil ihre Variablen verschieden sind.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Terme
- erkennen
- sinnvoll und vollständig
- ohne Relationszeichen
- berechnen
- Werte einsetzen
- Rechenreihenfolge beachten
- vereinfachen
- gleichartige Terme zusammenfassen
- Klammern vollständig auflösen
- prüfen
- regelgerecht umformen
- durch Einsetzen kontrollieren
- erkennen