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Distributivgesetz einfach erklärt und angewendet
Beim Distributivgesetz verteilst du einen Faktor auf alle Summanden oder Bestandteile einer Differenz in einer Klammer. So kannst du Klammern ausmultiplizieren, gemeinsame Faktoren ausklammern und viele Aufgaben leichter im Kopf lösen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was wird beim Distributivgesetz verteilt?
Vergleiche zwei Wege für dieselbe Rechnung:
$$5\cdot(10+8)=5\cdot18=90$$
Du kannst aber auch die $5$ auf beide Summanden verteilen:
$$5\cdot(10+8)=5\cdot10+5\cdot8=50+40=90$$
Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis.
Distributivgesetz
Das Distributivgesetz, auch Verteilungsgesetz genannt, verbindet eine Multiplikation mit einer Summe oder Differenz:
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$
$$a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c$$
Dabei ist $a$ der äußere Faktor. Die Bestandteile $b$ und $c$ werden jeweils mit diesem Faktor multipliziert.
Eine Summe ist das Ergebnis einer Addition, eine Differenz das Ergebnis einer Subtraktion. Die Zahlen, die miteinander multipliziert werden, heißen Faktoren.
Steht die Klammer links, funktioniert die Verteilung ebenfalls:
$$(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$$
Das ist möglich, weil du Faktoren bei einer Multiplikation vertauschen darfst. Dieses Vertauschen gehört zum Kommutativgesetz. Beim Distributivgesetz verteilst du dagegen einen Faktor auf mehrere Klammerbestandteile.
Wie du Klammern ausmultiplizierst
Ausmultiplizieren bedeutet: Du verwandelst ein Produkt mit einer Klammer in eine Summe oder Differenz von Produkten.
Gehe in drei Schritten vor:
- Multipliziere den äußeren Faktor mit dem ersten Klammerbestandteil.
- Multipliziere ihn auch mit jedem weiteren Bestandteil.
- Übernimm die Rechenzeichen aus der Klammer.
Multipliziere $4\cdot(x+3)$ aus. Der Buchstabe $x$ steht für eine Zahl.
$$4\cdot(x+3)$$
Die $4$ wird mit $x$ und mit $3$ multipliziert:
$$4\cdot x+4\cdot3=4x+12$$
Damit gilt:
$$4\cdot(x+3)=4x+12$$
Bei einer Differenz bleibt das Minuszeichen erhalten:
$$5\cdot(10-8)=5\cdot10-5\cdot8=50-40=10$$
Ein Faktor vor der Klammer gehört zu jedem Bestandteil in der Klammer. Vergisst du einen Bestandteil, ist die Umformung falsch.
Wie das Gesetz beim Kopfrechnen hilft
Beim Kopfrechnen zerlegst du eine Zahl in eine günstige Summe oder Differenz. Volle Zehner sind oft besonders praktisch.
Berechne $7\cdot98$ im Kopf.
Die $98$ liegt nahe bei $100$:
$$98=100-2$$
Setze diese Zerlegung ein und verteile die $7$:
$$7\cdot98=7\cdot(100-2)$$
$$=7\cdot100-7\cdot2$$
$$=700-14=686$$
Das Ergebnis $686$ ist plausibel: Es liegt etwas unter $7\cdot100=700$.
Eine andere günstige Zerlegung ist:
$$24\cdot8=(20+4)\cdot8=20\cdot8+4\cdot8=160+32=192$$
Wie du einen gemeinsamen Faktor ausklammerst
Du kannst das Distributivgesetz rückwärts anwenden. Dieser Vorgang heißt Ausklammern oder Faktorisieren.
$$a\cdot b+a\cdot c=a\cdot(b+c)$$
Suche zuerst nach einem Faktor, der in allen Summanden vorkommt. Schreibe ihn vor die Klammer. In die Klammer kommen die Teile, die nach dem Ausklammern übrig bleiben.
Im Term $65\cdot13+13\cdot35$ ist $13$ der gemeinsame Faktor.
Zuerst wird im ersten Produkt die Reihenfolge der Faktoren vertauscht:
$$65\cdot13+13\cdot35=13\cdot65+13\cdot35$$
Nun kannst du $13$ ausklammern:
$$13\cdot65+13\cdot35=13\cdot(65+35)$$
$$=13\cdot100=1300$$
Das Ausklammern macht die Rechnung leichter, weil in der Klammer $100$ entsteht.
Wann Verteilen bei Division erlaubt ist
Bei einer Division darfst du verteilen, wenn die Summe oder Differenz im Dividenden steht. Der Dividend ist die Zahl oder der Term, der geteilt wird.
$$(a+b):c=a:c+b:c$$
$$(a-b):c=a:c-b:c$$
Dabei muss $c\neq0$ gelten, denn durch $0$ darf nicht geteilt werden.
Berechne $(60+24):6$ durch Verteilen:
$$(60+24):6=60:6+24:6$$
$$=10+4=14$$
Die Zerlegung ist günstig, weil sowohl $60$ als auch $24$ ohne Rest durch $6$ teilbar sind.
Steht die Summe dagegen im Divisor, darfst du nicht auf diese Weise verteilen. Der Divisor steht rechts vom Geteiltzeichen.
$$6:(4+2)=6:6=1$$
Der falsche Ausdruck $6:4+6:2$ hätte einen anderen Wert. Deshalb musst du bei einer Klammer im Divisor zuerst die Klammer berechnen.
Bei der Division ist die Position entscheidend: Eine Summe im Dividenden darf gliedweise durch denselben von $0$ verschiedenen Divisor geteilt werden. Eine Summe im Divisor darfst du nicht so verteilen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Distributivgesetz
- Ausmultiplizieren: Faktor auf alle Klammerbestandteile verteilen
- Kopfrechnen: Zahlen günstig zerlegen
- Ausklammern: gemeinsamen Faktor erkennen
- Division: nur bei Summe oder Differenz im Dividenden verteilen
- Kontrolle: Einsetzen oder beide Rechenwege vergleichen
Abschluss-Check
Du beherrschst das Distributivgesetz, wenn du nicht nur richtig verteilst, sondern auch die passende Richtung wählst: ausmultiplizieren, geschickt zerlegen oder ausklammern.