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Assoziativgesetz: Klammern geschickt setzen
Das Assoziativgesetz erlaubt dir, bei einer reinen Addition oder Multiplikation die Klammern anders zu setzen. Die Reihenfolge der Zahlen bleibt gleich, und das Ergebnis ändert sich nicht.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was verändert das Assoziativgesetz?
Eine Klammer bestimmt, welchen Teil eines Terms du zuerst berechnest. Bei drei Zahlen kannst du entweder die ersten beiden oder die letzten beiden Zahlen zusammenfassen.
Assoziativgesetz
Eine Rechenoperation heißt assoziativ, wenn eine andere Klammerung das Ergebnis nicht verändert. Das Assoziativgesetz heißt deshalb auch Verbindungsgesetz oder Verknüpfungsgesetz.
Für die Addition gilt:
$$a+(b+c)=(a+b)+c$$
Für die Multiplikation gilt:
$$a·(b·c)=(a·b)·c$$
Assoziieren bedeutet umklammern: Die Zahlen behalten ihre Reihenfolge. Das Vertauschen von Zahlen gehört dagegen zum Kommutativgesetz.
Wie hilft das Gesetz bei der Addition?
Beim Addieren suchst du benachbarte Summanden, die sich besonders leicht zusammenrechnen lassen, etwa zu einem vollen Zehner.
Gegeben ist:
$$12+(8+5)$$
Die Zahlen stehen in der Reihenfolge 12, 8, 5. Du verschiebst nur die Klammer:
$$(12+8)+5=20+5=25$$
Die günstige Zwischensumme 20 macht die Rechnung einfacher. Zur Kontrolle liefert die ursprüngliche Klammerung ebenfalls 25:
$$12+(8+5)=12+13=25$$
Ein weiteres Beispiel:
$$(404+67)+11=404+(67+11)=404+78=482$$
Wie hilft das Gesetz bei der Multiplikation?
Beim Multiplizieren suchst du benachbarte Faktoren, deren Produkt besonders einfach ist, zum Beispiel 10 oder 100.
Gegeben ist:
$$(6·25)·4$$
Du veränderst nur die Klammerung:
$$6·(25·4)=6·100=600$$
Auch die ursprüngliche Klammerung ergibt dasselbe Ergebnis:
$$(6·25)·4=150·4=600$$
Bei einer reinen Summe suchst du günstige Summen. Bei einem reinen Produkt suchst du günstige Produkte.
Wann darfst du nicht umklammern?
Subtraktion und Division sind nicht assoziativ. Eine andere Klammerung kann dort zu einem anderen Ergebnis führen.
Bei der Subtraktion entstehen zwei verschiedene Ergebnisse:
$$(14-9)-2=5-2=3$$
$$14-(9-2)=14-7=7$$
Deshalb gilt:
$$(14-9)-2≠14-(9-2)$$
Auch bei der Division verändert die Klammerung das Ergebnis:
$$18:(6:3)=18:2=9$$
$$(18:6):3=3:3=1$$
Also ist die Division ebenfalls nicht assoziativ.
Enthält ein betrachteter Term verschiedene Rechenarten, darfst du das Assoziativgesetz nicht einfach auf den ganzen Term anwenden. Bei $5·(3+2)$ stehen zum Beispiel Multiplikation und Addition gemeinsam im Term.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Assoziativgesetz
- Addition: Klammern verschieben, Ergebnis bleibt gleich
- Multiplikation: Klammern verschieben, Ergebnis bleibt gleich
- Kopfrechnen: günstige Zwischenergebnisse bilden
- Reihenfolge: Zahlen nicht vertauschen
- Grenzen: nicht für Subtraktion und Division