Mit Google fortfahren
Kommutativgesetz: Zahlen geschickt vertauschen
Das Kommutativgesetz sagt: Bei einer Addition oder Multiplikation darfst du die Zahlen vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Deshalb heißt es auch Vertauschungsgesetz.
Du lernst, wann das Vertauschen erlaubt ist, wie es das Kopfrechnen erleichtert und warum es bei Subtraktion und Division nicht allgemein funktioniert.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du das Kommutativgesetz?
Bei einer Rechnung heißen die Zahlen, die miteinander verknüpft werden, Operanden. Eine Rechenart ist kommutativ, wenn das Vertauschen ihrer beiden Operanden das Ergebnis nicht verändert.
Kommutativgesetz
Für Addition und Multiplikation gilt:
$$a+b=b+a$$
$$a\cdot b=b\cdot a$$
Dabei stehen $a$ und $b$ für beliebige Zahlen.
Zum Beispiel:
$$2+3=3+2=5$$
$$3\cdot2=2\cdot3=6$$
Du kannst dir die Addition mit Äpfeln vorstellen: Ob du zuerst 2 und dann 3 Äpfel in eine Schüssel legst oder umgekehrt, es liegen am Ende 5 Äpfel darin.
Bei der Multiplikation hilft ein Rechteck: 3 Reihen mit je 4 Stücken enthalten genauso viele Stücke wie 4 Reihen mit je 3 Stücken.
$$3\cdot4=4\cdot3=12$$
Plus und Mal sind vertauschbar: Summanden einer Addition und Faktoren einer Multiplikation dürfen ihre Plätze tauschen.
Wie hilft das Gesetz beim Kopfrechnen?
Du darfst mehrere Summanden oder Faktoren so anordnen, dass leicht berechenbare Paare nebeneinanderstehen. Das Vertauschen verändert den Wert nicht.
Berechne $6+3+14$ geschickt.
- Vertausche die Summanden so, dass 14 und 6 nebeneinanderstehen:
$$14+6+3$$
- Rechne zuerst zur runden Zahl 20:
$$20+3=23$$
Also gilt $6+3+14=23$.
Auch beim Multiplizieren kannst du glatte Zehner oder Hunderter bilden.
Berechne $25\cdot9\cdot4$ geschickt.
- Stelle 25 und 4 nebeneinander:
$$25\cdot4\cdot9$$
- Rechne $25\cdot4=100$:
$$100\cdot9=900$$
Das Ergebnis ist 900.
Beim Vertauschen änderst du die Reihenfolge. Wenn du zusätzlich anders zusammenfasst, nutzt du das Assoziativgesetz: Aus $(25\cdot9)\cdot4$ wird nach Vertauschen und Umklammern $(25\cdot4)\cdot9$.
Wann darfst du nicht einfach vertauschen?
Subtraktion und Division sind nicht kommutativ. Ein Gegenbeispiel genügt, um zu zeigen, dass eine Rechenart nicht allgemein kommutativ ist.
Bei der Subtraktion entstehen verschiedene Ergebnisse:
$$6-4=2$$
$$4-6=-2$$
Also ist $6-4\ne4-6$.
Bei der Division gilt ebenso:
$$4:2=2$$
$$2:4=0{,}5$$
Auch hier verändert das Vertauschen das Ergebnis.
Bei gemischten Rechenzeichen darfst du nicht wahllos Zahlen verschieben. In $2\cdot5+3$ gehören 2 und 5 zur Multiplikation. Das Kommutativgesetz erlaubt zwar $5\cdot2+3$, aber nicht das beliebige Umstellen zu $2\cdot3+5$.
Prüfe zuerst die Rechenart: Vertauschen ist bei Addition und Multiplikation erlaubt, nicht allgemein bei Subtraktion und Division.
Vertiefung: Vorzeichen und Variablen sicher mitnehmen
Das Kommutativgesetz gilt auch für negative Zahlen. Beim Vertauschen muss das Vorzeichen bei seiner Zahl bleiben. Klammern machen das deutlich.
Berechne $-5+8+15$ geschickt:
$$15+(-5)+8=15-5+8=10+8=18$$
Vertauscht wurde also die Zahl $-5$, nicht nur die 5.
Auch Terme mit Variablen lassen sich ordnen. Gleichartige Terme besitzen denselben Variablenteil und können zusammengefasst werden.
$$3a+8ab+12ab=8ab+12ab+3a=20ab+3a$$
Die beiden $ab$-Terme passen zusammen. Der Term $3a$ hat einen anderen Variablenteil und bleibt getrennt.
In Produkten kannst du Zahlen und Variablen anordnen:
$$2a\cdot5ab=(2\cdot5)(a\cdot a\cdot b)=10a^2b$$
Jetzt wendest du das Gesetz selbst an
Löse zuerst ohne Blick auf die Rückmeldung.
Aufgabe 1: Geschickt addieren
Berechne $17+8+13+22+5$ durch sinnvolles Vertauschen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bilde zuerst die runden Summen: $17+=$ und $8+22=30$. Danach gilt $30+30+5=$.
Aufgabe 2: Geschickt multiplizieren
Berechne $5\cdot9\cdot2$ und begründe deine Anordnung.
Aufgabe 3: Fehler finden
Eine Person behauptet: „Wenn ich Zahlen vertauschen darf, ist $9-4=4-9$.“
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kommutativgesetz
- Bedeutung: Operanden vertauschen
- Addition: $a+b=b+a$
- Multiplikation: $a\cdot b=b\cdot a$
- Nutzen: geschickt rechnen
- Grenze: Subtraktion und Division
- Abgrenzung: Reihenfolge statt Klammerung
Abschluss-Check
Wenn du beim Umordnen die Rechenart und jedes Vorzeichen unverändert lässt, kannst du Addition und Multiplikation sicher vereinfachen.