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Manche Rechnungen sind leichter, wenn du Zahlen geschickt vertauschst, zusammenfasst oder ausklammerst. Danach kannst du Rechengesetze nutzen, um schneller und sicherer zu rechnen.
- Ich kann Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz unterscheiden.
- Ich kann passende Rechengesetze in Beispielen anwenden.
- Ich kann erkennen, bei welchen Rechenarten Vertauschen nicht erlaubt ist.
- Ich kann Rechenschritte begründen.
Warum Rechengesetze helfen
Ein Rechengesetz beschreibt eine Regel, die für viele Zahlen gilt. Du darfst damit Terme umformen, ohne den Wert zu verändern.
Kommutativgesetz
Beim Addieren und Multiplizieren darfst du die Reihenfolge vertauschen: \(a + b = b + a\) und \(a \cdot b = b \cdot a\).
\(7 + 28 + 3\) wird leichter, wenn du \(7\) und \(3\) zusammen nimmst: \(7 + 28 + 3 = 7 + 3 + 28 = 10 + 28 = 38\).
Vertauschen funktioniert bei Plus und Mal, aber nicht allgemein bei Minus und Geteilt.
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Geschickt zusammenfassen
Das Assoziativgesetz sagt, dass du bei Plus oder Mal die Klammern anders setzen darfst.
Assoziativgesetz
Beim Addieren und Multiplizieren darfst du anders gruppieren: \((a+b)+c = a+(b+c)\) und \((a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)\).
Berechne \(25 \cdot 7 \cdot 4\) geschickt.
Du gruppierst \(25\) und \(4\), weil \(25 \cdot 4 = 100\). \(25 \cdot 7 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 7 = 100 \cdot 7 = 700\).
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Verteilen und Ausklammern
Das Distributivgesetz verbindet Mal mit Plus oder Minus. Du kannst verteilen oder ausklammern.
Distributivgesetz
Für Zahlen gilt: \(a \cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c\). Auch mit Minus: \(a \cdot (b-c) = a\cdot b - a\cdot c\).
Berechne \(6 \cdot 98\) geschickt.
\(98 = 100 - 2\). \(6 \cdot 98 = 6 \cdot (100 - 2) = 600 - 12 = 588\).
Klammere aus: \(12x + 8x\).
Beide Summanden enthalten \(4x\) als gemeinsamen Faktor. \(12x + 8x = 4x(3 + 2) = 20x\). Einfacher siehst du auch: \(12x + 8x = (12+8)x = 20x\).
Prüfungsmodus
Viele Fehler entstehen, wenn ein Gesetz bei der falschen Rechenart benutzt wird.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Rechengesetze helfen dir, Terme wertgleich umzuformen. Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten sicher bei Addition und Multiplikation. Das Distributivgesetz erlaubt Verteilen und Ausklammern.