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Rechengesetze: Regeln, Beispiele und Übungen
Rechengesetze erlauben dir, passende Zahlen zu vertauschen, neu zu gruppieren oder eine Multiplikation auf eine Klammer zu verteilen. Dadurch werden viele Rechnungen einfacher. Das ist jedoch nur erlaubt, wenn das jeweilige Gesetz zur Rechenart passt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Rechnung kommt zuerst?
Bei einem Term mit mehreren Rechenarten darfst du nicht einfach immer von links nach rechts rechnen. Halte diese Reihenfolge ein:
- Klammern
- Potenzen
- Multiplikation und Division
- Addition und Subtraktion
- Rechenoperationen derselben Rangstufe von links nach rechts
Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punkt vor Strich. Erst bei gleicher Rangstufe rechnest du von links nach rechts.
Berechne $3 · (18-6)+12:4$.
- Zuerst die Klammer: $18-6=12$.
- Danach die beiden Punktrechnungen: $3 · 12=36$ und $12:4=3$.
- Zuletzt die Addition: $36+3=39$.
Der Wert des Terms ist 39.
Wann darfst du Zahlen vertauschen?
Kommutativgesetz
Das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz erlaubt das Vertauschen von Summanden oder Faktoren:
$a+b=b+a$
$a · b=b · a$
Bei Addition und Multiplikation bleibt das Ergebnis also gleich. So kannst du günstig zusammenpassende Zahlen nebeneinanderstellen.
Berechne $341+173+59+27$ geschickt.
Du vertauschst die Summanden und fasst passende Zahlen zusammen:
$(341+59)+(173+27)=400+200=600$
Das Ergebnis ist 600.
Für Subtraktion und Division gilt das Vertauschungsgesetz nicht. Beispielsweise liefern $5-3$ und $3-5$ verschiedene Ergebnisse.
Bei negativen Zahlen musst du genau hinsehen: In $4+(-5)$ ist $-5$ ein vollständiger Summand. Beim Vertauschen nimmst du sein Vorzeichen mit: $4+(-5)=(-5)+4$.
Wann darfst du Klammern neu setzen?
Assoziativgesetz
Das Assoziativgesetz, auch Verbindungs- oder Klammergesetz genannt, erlaubt bei einer Folge von Additionen oder Multiplikationen eine andere Gruppierung:
$(a+b)+c=a+(b+c)$
$(a · b) · c=a · (b · c)$
Das Gesetz verändert nur die Klammerung. Es vertauscht keine Zahlen. In einer längeren Summe oder einem längeren Produkt kannst du Kommutativ- und Assoziativgesetz gemeinsam einsetzen.
Bei der Addition gilt:
$(5+3)+4=8+4=12$
$5+(3+4)=5+7=12$
Beide Klammerungen ergeben 12.
Bei Subtraktion und Division darfst du die Klammern nicht beliebig versetzen:
$(12:3):2=2$, aber $12:(3:2)=8$.
Wie verteilst du einen Faktor auf eine Klammer?
Distributivgesetz
Das Distributivgesetz oder Verteilungsgesetz verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion:
$a · (b+c)=a · b+a · c$
$a · (b-c)=a · b-a · c$
Der äußere Faktor wird mit jedem Teil der Klammer multipliziert.
Ausmultiplizieren
Beim Term $3 · (5+x)$ kann $5+x$ nicht zu einer Zahl zusammengefasst werden. Deshalb verteilst du die 3:
$3 · (5+x)=3 · 5+3 · x=15+3x$
Ein negativer Faktor wirkt ebenfalls auf jeden Klammerteil:
$(-2) · (x-y)=-2x+2y$.
Das zweite Vorzeichen wird positiv, weil beim zweiten Produkt zwei negative Vorzeichen zusammentreffen.
Geschickt rechnen
Das Distributivgesetz hilft auch ohne Variable. Für $7 · 98$ nutzt du $98=100-2$:
$7 · 98=7 · (100-2)=7 · 100-7 · 2=700-14=686$.
Ausklammern
Du kannst das Distributivgesetz rückwärts anwenden. Das heißt Ausklammern oder Faktorisieren. Bei $12x+18$ ist 6 ein gemeinsamer Faktor:
$12x+18=6 · (2x+3)$.
Zur Probe multiplizierst du die Klammer wieder aus.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Rechengesetze
- Rechenreihenfolge: legt den nächsten Rechenschritt fest
- Kommutativgesetz: vertauscht Summanden oder Faktoren
- Assoziativgesetz: gruppiert Additionen oder Multiplikationen neu
- Distributivgesetz: verteilt einen Faktor auf Summe oder Differenz
- Ausmultiplizieren: löst eine Klammer durch Verteilen auf
- Ausklammern: zieht einen gemeinsamen Faktor vor die Klammer
- Geltungsgrenze: Regeln nicht ungeprüft auf andere Rechenarten übertragen
Abschluss-Check
Wenn du einen Term vereinfachen willst, frage dich zuerst: Welche Rechenart liegt vor, welches Gesetz passt und bleibt der Wert wirklich unverändert?