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Kreis: Begriffe, Umfang und Fläche berechnen
Ein Kreis wird durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius bestimmt: Jeder Punkt der Kreislinie hat vom Mittelpunkt genau denselben Abstand. Mit Radius oder Durchmesser kannst du außerdem Umfang und Flächeninhalt berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du einen Kreis?
Ein Kreis hat keine Ecken. Runde Gegenstände wie Teller, Münzen oder Reifen erinnern an Kreise. Mathematisch müssen wir jedoch zwischen dem Rand und der gefüllten Fläche unterscheiden.
Kreislinie
Die Kreislinie besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt $M$ genau den gleichen Abstand $r$ haben. Dieser Abstand heißt Radius.
Kreisfläche
Die Kreisfläche umfasst die Kreislinie und alle Punkte innerhalb der Kreislinie. Im Alltag kann das Wort „Kreis“ sowohl die Linie als auch die Fläche meinen. Achte deshalb auf den Zusammenhang.
Beim Zeichnen mit dem Zirkel legt die Zirkelspitze den Mittelpunkt fest. Die eingestellte Öffnung ist der Radius. Während sich der Zirkel dreht, bleibt dieser Abstand gleich.
Der Durchmesser verbindet zwei gegenüberliegende Punkte der Kreislinie und verläuft durch den Mittelpunkt. Er ist doppelt so lang wie der Radius:
$$d=2r$$
Umgekehrt gilt:
$$r=\frac{d}{2}$$
Ein Kreis hat den Radius $r=4\,\mathrm{cm}$. Sein Durchmesser beträgt
$$d=2\cdot 4\,\mathrm{cm}=8\,\mathrm{cm}.$$
Der Durchmesser ist keine beliebige Verbindung zweier Randpunkte: Er muss durch den Mittelpunkt verlaufen.
Wie liegen Punkte und Strecken zum Kreis?
Vergleiche den Abstand eines Punktes $P$ vom Mittelpunkt mit dem Radius:
- Ist der Abstand kleiner als $r$, liegt $P$ im Kreisinneren.
- Ist der Abstand gleich $r$, liegt $P$ auf der Kreislinie.
- Ist der Abstand größer als $r$, liegt $P$ außerhalb des Kreises.
Die Aussage „$P$ liegt nicht auf der Kreislinie“ reicht nicht zur genauen Einordnung. Der Punkt könnte innen oder außen liegen.
Weitere Kreisteile lassen sich über ihre Begrenzungen erkennen:
- Eine Sehne verbindet zwei Punkte der Kreislinie.
- Der Durchmesser ist die längste Sehne und verläuft durch den Mittelpunkt.
- Ein Kreisbogen ist ein Teil der Kreislinie zwischen zwei Punkten.
- Ein Kreissektor wird von zwei Radien und dem dazwischenliegenden Kreisbogen begrenzt. Er sieht wie ein Tortenstück aus.
- Ein Kreissegment wird von einer Sehne und dem zugehörigen Kreisbogen begrenzt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Eine Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie heißt . Eine Verbindung zweier Randpunkte heißt . Verläuft sie durch den Mittelpunkt, ist sie ein . Eine Teilfläche zwischen zwei Radien und einem Kreisbogen heißt .
Wie treffen Geraden auf einen Kreis?
Auch Geraden werden danach benannt, wie viele gemeinsame Punkte sie mit der Kreislinie haben:
- Eine Passante hat keinen gemeinsamen Punkt mit der Kreislinie.
- Eine Tangente berührt die Kreislinie in genau einem Punkt.
- Eine Sekante schneidet die Kreislinie in zwei Punkten.
- Eine Zentrale ist eine Sekante, die zusätzlich durch den Mittelpunkt verläuft.
Zähle zuerst die Schnittpunkte: null bedeutet Passante, einer Tangente und zwei Sekante. Erst danach prüfst du, ob eine Sekante durch den Mittelpunkt verläuft und damit eine Zentrale ist.
Wie berechnest du Umfang und Fläche?
Die Kreiszahl $\pi$ beschreibt bei jedem Kreis dasselbe Verhältnis von Umfang $U$ zu Durchmesser $d$:
$$\pi=\frac{U}{d}$$
$\pi$ besitzt unendlich viele, nicht periodisch wiederkehrende Dezimalstellen. Für Näherungen kannst du die $\pi$-Taste oder $\pi\approx3{,}14$ verwenden.
Der Umfang ist die Länge der Kreislinie:
$$U=\pi d=2\pi r$$
Der Flächeninhalt misst die Größe der Kreisfläche:
$$A=\pi r^2$$
Der Umfang erhält eine Längeneinheit wie $\mathrm{cm}$. Der Flächeninhalt erhält eine quadratische Einheit wie $\mathrm{cm^2}$.
Gegeben ist ein Kreis mit $r=4\,\mathrm{cm}$.
Für den Umfang setzt du den Radius in $U=2\pi r$ ein:
$$U=2\pi\cdot4\,\mathrm{cm}=8\pi\,\mathrm{cm}\approx25{,}13\,\mathrm{cm}.$$
Für den Flächeninhalt quadrierst du zuerst den Radius:
$$A=\pi\cdot(4\,\mathrm{cm})^2=16\pi\,\mathrm{cm^2}\approx50{,}27\,\mathrm{cm^2}.$$
Die Ergebnisse passen zum Zusammenhang: Der Umfang ist eine Länge, die Fläche wird in Quadratzentimetern angegeben.
Wie rechnest du rückwärts?
Manchmal kennst du weder Radius noch Durchmesser. Dann stellst du die passende Formel nach $r$ um.
Aus dem Umfang folgt:
$$r=\frac{U}{2\pi}$$
Aus dem Flächeninhalt folgt:
$$r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$$
Beim Flächeninhalt brauchst du die Quadratwurzel, weil der Radius in der Ausgangsformel quadriert wird.
Ein kreisförmiger Weg hat den Umfang $U=24\,\mathrm{m}$. Gesucht ist der Radius.
$$r=\frac{24\,\mathrm{m}}{2\pi}=\frac{12}{\pi}\,\mathrm{m}\approx3{,}82\,\mathrm{m}.$$
Zur Kontrolle setzt du den Näherungswert ein:
$$2\pi\cdot3{,}82\,\mathrm{m}\approx24{,}00\,\mathrm{m}.$$
Eine kleine Abweichung kann durch das Runden entstehen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kreis
- wird bestimmt durch Mittelpunkt und Radius
- besitzt Kreislinie und Kreisfläche
- verbindet Radius und Durchmesser durch $d=2r$
- hat den Umfang $U=2\pi r$
- hat den Flächeninhalt $A=\pi r^2$
- trifft Geraden als Passante, Tangente oder Sekante
Abschluss-Check
Prüfe beim Rechnen immer in dieser Reihenfolge: gegebene Größe notieren, passende Formel wählen, Radius oder Durchmesser richtig einsetzen, Einheit ergänzen und das Ergebnis auf Plausibilität prüfen.