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Kreisumfang und Kreisfläche berechnen
Den Kreisumfang berechnest du mit $U=2\pi r=\pi d$. Für die Kreisfläche gilt $A=\pi r^2$. Dabei ist $r$ der Radius, $d$ der Durchmesser und $\pi\approx3{,}14$. Auf dieser Seite lernst du, die passende Formel zu wählen, vorwärts und rückwärts zu rechnen und dein Ergebnis zu prüfen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die Kreisgrößen sicher unterscheiden
Stell dir eine runde Tischplatte vor: Für ein Band um ihre Kante brauchst du den Umfang. Für Folie auf ihrer Oberseite brauchst du den Flächeninhalt.
Radius und Durchmesser
Der Radius $r$ ist die Strecke vom Mittelpunkt bis zum Kreisrand. Der Durchmesser $d$ führt von einem Randpunkt durch den Mittelpunkt zum gegenüberliegenden Randpunkt. Deshalb ist der Durchmesser doppelt so lang wie der Radius:
$$d=2r \qquad\text{und}\qquad r=\frac d2$$
Umfang und Flächeninhalt
Der Umfang $U$ ist die Länge des Kreisrandes. Er hat eine Längeneinheit wie $\mathrm{cm}$. Der Flächeninhalt $A$ beschreibt die eingeschlossene Fläche. Er hat eine Flächeneinheit wie $\mathrm{cm^2}$.
Mit Pi die passenden Formeln verstehen
Bei jedem Kreis ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser gleich. Diese feste Verhältniszahl heißt Kreiszahl Pi:
$$\pi=\frac Ud=3{,}141592\ldots$$
Die Zahl $\pi$ hat unendlich viele, nicht periodisch wiederkehrende Nachkommastellen. Für Überschläge kannst du $\pi\approx3{,}14$ verwenden. Mit dem Taschenrechner nutzt du die $\pi$-Taste und rundest erst das Endergebnis.
Aus $\frac Ud=\pi$ folgt $U=\pi d$. Weil $d=2r$ gilt, erhältst du auch $U=2\pi r$.
Randlänge: $U=2\pi r=\pi d$
Eingeschlossene Fläche: $A=\pi r^2$
Warum steht bei der Fläche $r^2$? Zerlegt man einen Kreis in viele schmale Sektoren und ordnet sie abwechselnd an, nähert sich die Form einem Rechteck. Seine Höhe ist $r$, seine Länge ist ungefähr der halbe Umfang. Daher gilt:
$$A=r\cdot\frac U2=r\cdot\frac{2\pi r}{2}=\pi r^2$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Der Umfang ist eine und hat zum Beispiel die Einheit $\mathrm{cm}$. Der Flächeninhalt ist eine und hat zum Beispiel die Einheit $\mathrm{cm^2}$. Für $A=\pi r^2$ wird der Radius .
Aus Radius oder Durchmesser rechnen
Gehe immer in vier Schritten vor:
- Notiere die gegebene und die gesuchte Größe.
- Bestimme bei Bedarf zuerst den Radius oder Durchmesser.
- Setze in die passende Formel ein und rechne möglichst lange mit der $\pi$-Taste.
- Runde am Ende und prüfe die Einheit.
Gegeben: $r=4\,\mathrm{cm}$ Gesucht: $U$ und $A$
Für den Umfang:
$$U=2\pi r=2\pi\cdot4\,\mathrm{cm}=8\pi\,\mathrm{cm}\approx25{,}13\,\mathrm{cm}$$
Für die Fläche wird der Radius zuerst quadriert:
$$A=\pi r^2=\pi\cdot(4\,\mathrm{cm})^2=16\pi\,\mathrm{cm^2}\approx50{,}27\,\mathrm{cm^2}$$
Der Umfang ist eine Länge, die Fläche hat eine quadrierte Einheit. Beide Einheiten passen zur Bedeutung der Größen.
Ist der Durchmesser gegeben, kannst du den Umfang direkt mit $U=\pi d$ berechnen. Für die Fläche halbierst du den Durchmesser zuerst oder nutzt die gleichwertige Formel $A=\frac\pi4d^2$.
Ein runder Landeplatz hat den Durchmesser $d=26\,\mathrm{m}$. Dann ist $r=13\,\mathrm{m}$ und
$$A=\pi r^2=\pi\cdot(13\,\mathrm{m})^2=169\pi\,\mathrm{m^2}\approx530{,}93\,\mathrm{m^2}$$
Die Fläche des Landeplatzes beträgt ungefähr $530{,}93\,\mathrm{m^2}$.
Umfang oder Fläche rückwärts nutzen
Manchmal kennst du den Umfang oder die Fläche und suchst den Radius. Dann stellst du die Formel nach $r$ um.
Aus dem Umfang folgt:
$$r=\frac{U}{2\pi} \qquad\text{und}\qquad d=\frac U\pi$$
Aus dem Flächeninhalt folgt:
$$r=\sqrt{\frac A\pi}$$
Die Quadratwurzel macht das Quadrieren rückgängig. Weil ein Radius eine Länge ist, verwendest du die nichtnegative Wurzel.
Gegeben: $U=24\,\mathrm{cm}$ Gesucht: $r$, $d$ und $A$
Zuerst berechnest du den Radius:
$$r=\frac{24\,\mathrm{cm}}{2\pi}\approx3{,}82\,\mathrm{cm}$$
Dann gilt $d=2r\approx7{,}64\,\mathrm{cm}$. Für die Fläche rechnest du mit dem ungerundeten Radius weiter:
$$A=\pi\left(\frac{24}{2\pi}\right)^2\,\mathrm{cm^2}\approx45{,}84\,\mathrm{cm^2}$$
So vermeidest du, dass ein früh gerundeter Zwischenwert das Endergebnis unnötig verändert.
Verstehen, wie Kreise wachsen
Wird der Radius mit einem Faktor $n$ multipliziert, wächst der Umfang mit demselben Faktor:
$$2\pi(nr)=n\cdot2\pi r$$
Die Fläche wächst dagegen mit dem Quadrat des Faktors:
$$\pi(nr)^2=n^2\pi r^2$$
Verdoppelst du den Radius, verdoppelt sich der Umfang, aber die Fläche vervierfacht sich. Verdreifachst du den Radius, wird der Umfang dreimal und die Fläche neunmal so groß.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kreis berechnen
- Größen: Radius $r$, Durchmesser $d=2r$
- Umfang: $U=2\pi r=\pi d$, Längeneinheit
- Fläche: $A=\pi r^2$, quadrierte Einheit
- Rückwärts: durch $2\pi$ teilen oder Wurzel aus $A/\pi$ ziehen
- Prüfen: passende Formel, Einheit und Rundung kontrollieren
- Wachstum: Umfang linear, Fläche quadratisch zum Radius
Abschluss-Check
Wenn du bei jeder Aufgabe zuerst Rand oder Fläche? entscheidest, dann Radius und Durchmesser sauber unterscheidest und erst am Ende rundest, vermeidest du die häufigsten Fehler.