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Flächeninhalt eines Kreises berechnen
Den Flächeninhalt eines Kreises berechnest du mit $A=\pi r^2$. Du quadrierst also den Radius und multiplizierst das Ergebnis mit der Kreiszahl $\pi$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Radius, Durchmesser und Fläche unterscheiden
Der Radius $r$ ist die Strecke vom Mittelpunkt bis zur Kreislinie. Der Durchmesser $d$ verläuft durch den Mittelpunkt von einer Seite des Kreises zur anderen.
Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius:
$$d=2r$$
Umgekehrt erhältst du den Radius, indem du den Durchmesser halbierst:
$$r=\frac d2$$
Der Flächeninhalt $A$ beschreibt, wie groß die gesamte Fläche innerhalb der Kreislinie ist. Deshalb wird er in Quadrateinheiten wie $\mathrm{cm}^2$ oder $\mathrm{m}^2$ angegeben.
Kreiszahl π
Die Kreiszahl $\pi$ ist eine feste mathematische Zahl. Für Überschlagsrechnungen kannst du $\pi\approx3{,}14$ verwenden. Genauer wird das Ergebnis mit der $\pi$-Taste des Taschenrechners.
Die Kreisfläche aus dem Radius berechnen
Für die Fläche eines Kreises gilt:
$$A=\pi r^2$$
Gehe in vier Schritten vor:
- Notiere die Formel $A=\pi r^2$.
- Setze den Radius mit seiner Einheit ein.
- Quadriere den Radius einschließlich der Einheit.
- Multipliziere mit $\pi$ und runde erst am Ende.
Ein Kreis hat den Radius $r=3\,\mathrm{cm}$.
$$A=\pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2$$
Zuerst wird der Radius quadriert:
$$(3\,\mathrm{cm})^2=9\,\mathrm{cm}^2$$
Damit folgt:
$$A=9\pi\,\mathrm{cm}^2\approx28{,}27\,\mathrm{cm}^2$$
Der Kreis hat einen Flächeninhalt von ungefähr $28{,}27\,\mathrm{cm}^2$.
Quadriere immer den Radius, nicht den Durchmesser. Eine Kreisfläche erhält eine quadratische Einheit wie $\mathrm{cm}^2$.
Mit dem Durchmesser rechnen
Ist der Durchmesser gegeben, darfst du ihn nicht direkt als Radius einsetzen. Halbiere ihn zuerst:
$$r=\frac d2$$
Danach verwendest du wie gewohnt $A=\pi r^2$. Beide Schritte lassen sich auch in einer Formel zusammenfassen:
$$A=\pi\left(\frac d2\right)^2$$
Ein runder Tisch hat den Durchmesser $d=8\,\mathrm{dm}$.
Zuerst bestimmst du den Radius:
$$r=\frac{8\,\mathrm{dm}}2=4\,\mathrm{dm}$$
Dann berechnest du die Fläche:
$$A=\pi\cdot(4\,\mathrm{dm})^2=16\pi\,\mathrm{dm}^2\approx50{,}27\,\mathrm{dm}^2$$
Die Tischfläche ist ungefähr $50{,}27\,\mathrm{dm}^2$ groß.
Den Radius aus der Fläche bestimmen
Manchmal kennst du die Fläche und suchst den Radius. Stelle dann die Flächenformel um:
$$A=\pi r^2$$
Teile zuerst durch $\pi$:
$$r^2=\frac A\pi$$
Ziehe anschließend die Quadratwurzel:
$$r=\sqrt{\frac A\pi}$$
Für eine geometrische Länge verwendest du die positive Lösung.
Eine Kreisfläche ist $45\,\mathrm{cm}^2$ groß.
$$r=\sqrt{\frac{45\,\mathrm{cm}^2}{\pi}}\approx3{,}78\,\mathrm{cm}$$
Probe:
$$\pi\cdot(3{,}78\,\mathrm{cm})^2\approx44{,}89\,\mathrm{cm}^2$$
Die kleine Abweichung zu $45\,\mathrm{cm}^2$ entsteht, weil der Radius auf zwei Nachkommastellen gerundet wurde.
Die Fläche eines Kreisrings berechnen
Ein Kreisring entsteht, wenn aus einer großen Kreisfläche eine kleinere Kreisfläche mit demselben Mittelpunkt entfernt wird. $r_a$ bezeichnet den Außenradius und $r_i$ den Innenradius.
Du ziehst die kleine Fläche von der großen Fläche ab:
$$A_{\text{Ring}}=\pi r_a^2-\pi r_i^2$$
Zusammengefasst lautet die Formel:
$$A_{\text{Ring}}=\pi(r_a^2-r_i^2)$$
Ein Kreisring hat den Außenradius $r_a=4\,\mathrm{cm}$ und den Innenradius $r_i=2\,\mathrm{cm}$.
$$A_{\text{Ring}}=\pi\left((4\,\mathrm{cm})^2-(2\,\mathrm{cm})^2\right)$$
$$A_{\text{Ring}}=\pi(16-4)\,\mathrm{cm}^2=12\pi\,\mathrm{cm}^2$$
$$A_{\text{Ring}}\approx37{,}70\,\mathrm{cm}^2$$
Der Kreisring ist ungefähr $37{,}70\,\mathrm{cm}^2$ groß.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Flächeninhalt des Kreises
- Gegeben: Radius → $A=\pi r^2$
- Gegeben: Durchmesser → zuerst $r=d:2$
- Gegeben: Fläche → $r=\sqrt{A/\pi}$
- Einheit → Quadrateinheit
- Kreisring → äußere Fläche minus innere Fläche
- Kontrolle → Einheit und Größenordnung prüfen
Abschluss-Check
Prüfe am Ende drei Dinge: Hast du wirklich den Radius eingesetzt, ihn quadriert und eine Flächeneinheit angegeben?