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Kreiszahl Pi einfach erklärt: Bedeutung und Formeln
Die Kreiszahl $\pi$ beschreibt bei jedem euklidischen Kreis dasselbe Verhältnis: Der Umfang ist $\pi$-mal so groß wie der Durchmesser. Näherungsweise gilt $\pi \approx 3{,}14$.
Auf dieser Seite entdeckst du diese Beziehung durch Messen, verwendest $\pi$ in Kreisformeln und ordnest wichtige Eigenschaften der Zahl ein.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was π bedeutet
Nimm einen beliebigen Kreis. Teile seinen Umfang $U$ durch seinen Durchmesser $d$. Du erhältst immer dieselbe Zahl: $\pi$.
Kreiszahl Pi
Die Kreiszahl $\pi$ ist das Verhältnis des Kreisumfangs $U$ zum Durchmesser $d$:
$$\pi = \frac{U}{d}$$
Sie hat keine Einheit, weil beim Teilen gleiche Einheiten gekürzt werden, zum Beispiel $\mathrm{cm}/\mathrm{cm}$.
Ein größerer Kreis hat zwar einen größeren Umfang. Sein Durchmesser wächst aber im gleichen Verhältnis. Deshalb bleibt der Quotient $U/d$ unverändert.
$\pi$ ist nicht einfach „der Umfang eines Kreises“. Die Zahl beschreibt das feste Verhältnis von Umfang und Durchmesser.
Wie du π durch Messen näherst
Du kannst $\pi$ mit einem runden Gegenstand experimentell untersuchen:
- Miss den Durchmesser durch den Mittelpunkt.
- Lege einen Faden genau einmal um den Rand und miss seine Länge als Umfang.
- Berechne $U/d$.
- Wiederhole den Versuch mit unterschiedlich großen Gegenständen.
Bei sorgfältigen Messungen liegen die Ergebnisse ungefähr bei $3{,}14$. Kleine Abweichungen entstehen etwa durch einen schief angelegten Faden, eine ungenaue Mittelpunktbestimmung oder begrenzte Messgenauigkeit.
Ein gezeichneter Kreis hat den Durchmesser $d=1\,\mathrm{cm}$. Für seinen Umfang werden ungefähr $3{,}14\,\mathrm{cm}$ gemessen.
$$\frac{U}{d} \approx \frac{3{,}14\,\mathrm{cm}}{1\,\mathrm{cm}} = 3{,}14$$
Die Einheiten kürzen sich. Das Ergebnis ist eine Näherung für $\pi$.
Der Messversuch veranschaulicht die Beziehung, beweist sie aber nicht allgemein. Zeichnung und Messwerkzeuge sind nie vollkommen genau.
Wie π in Kreisformeln arbeitet
Aus $\pi=U/d$ folgt durch Multiplikation mit $d$ die Umfangsformel:
$$U=\pi d$$
Weil der Durchmesser doppelt so groß wie der Radius ist, also $d=2r$, gilt auch:
$$U=2\pi r$$
Für den Flächeninhalt $A$ eines Kreises gilt:
$$A=\pi r^2$$
Daraus folgt zugleich $\pi=A/r^2$. Das Verhältnis von Kreisfläche zu quadriertem Radius ist also ebenfalls konstant.
Ein Kreis hat den Radius $r=5\,\mathrm{cm}$. Damit ist sein Durchmesser $d=10\,\mathrm{cm}$.
Für den Umfang verwendest du $U=\pi d$:
$$U=\pi\cdot10\,\mathrm{cm}\approx31{,}4\,\mathrm{cm}$$
Die Einheit bleibt Zentimeter, weil ein Umfang eine Länge ist.
Für den Flächeninhalt verwendest du $A=\pi r^2$. Zuerst quadrierst du den Radius:
$$A=\pi\cdot(5\,\mathrm{cm})^2=25\pi\,\mathrm{cm}^2\approx78{,}5\,\mathrm{cm}^2$$
Die Einheit ist Quadratzentimeter, weil ein Flächeninhalt gesucht ist.
Pi im Bogenmaß
Im Bogenmaß werden Winkel durch Bogenlängen beschrieben. Ein Vollkreis entspricht $2\pi$ Radiant:
$$360^\circ=2\pi\,\mathrm{rad}$$
Daher gelten auch $180^\circ=\pi\,\mathrm{rad}$ und $45^\circ=\frac{\pi}{4}\,\mathrm{rad}\approx0{,}79\,\mathrm{rad}$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für den Kreisumfang gilt $U=$. Der Durchmesser ist so groß wie der Radius. Der Flächeninhalt wird mit $A=$ berechnet. Ein Vollkreis besitzt im Bogenmaß Radiant.
Welche Zahleneigenschaften π hat
Die Dezimaldarstellung beginnt so:
$$\pi=3{,}141592653589793\ldots$$
Die Punkte bedeuten nicht, dass die Zahl unbekannt wäre. Sie zeigen, dass ihre Dezimaldarstellung unendlich weitergeht.
Irrationale Zahl
Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben. Ihre Dezimaldarstellung endet nicht und wird nicht periodisch. $\pi$ ist irrational.
Deshalb ist $3{,}14$ nicht gleich $\pi$, sondern nur ein Näherungswert. Auch $22/7=3{,}142857\ldots$ ist lediglich eine Näherung.
Transzendente Zahl
Eine transzendente Zahl ist keine Nullstelle eines von null verschiedenen Polynoms mit rationalen Koeffizienten. $\pi$ ist transzendent und damit auch irrational.
Nicht jede irrationale Zahl ist transzendent. Zum Beispiel ist $\sqrt{2}$ irrational, erfüllt aber $x^2-2=0$ und ist deshalb algebraisch.
Die Transzendenz von $\pi$ erklärt außerdem, warum die exakte Quadratur des Kreises allein mit Zirkel und Lineal unmöglich ist. Sehr genaue Näherungskonstruktionen bleiben dennoch möglich.
Wie Näherungen genauer werden
Schon lange vor modernen Computern suchten Menschen gute Näherungen für $\pi$. Archimedes verglich um 250 v. Chr. den Kreis mit regelmäßigen Vielecken.
Ein Vieleck innerhalb des Kreises hat einen kleineren Umfang als der Kreis. Ein Vieleck außerhalb des Kreises hat einen größeren Umfang. Dadurch entstehen eine Unter- und eine Obergrenze für $\pi$.
Archimedes erhöhte die Seitenzahl bis zu Vielecken mit 96 Seiten. Seine Schranken lassen sich so angeben:
$$\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7}$$
Je mehr Seiten die Vielecke besitzen, desto enger können sie den Kreis einschließen und desto genauer wird die Näherung.
Heute gibt es schnell konvergierende Reihen und Algorithmen, mit denen sehr viele Stellen berechnet werden. Trotzdem ist nicht bewiesen, dass in der Dezimaldarstellung alle Ziffernfolgen mit den erwarteten Häufigkeiten vorkommen. Berechnete Stellen und statistische Tests ersetzen dafür keinen Beweis.
Eine genauere Näherung liefert mehr verlässliche Stellen. Sie wird dadurch aber nie zum endlichen exakten Dezimalwert von $\pi$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kreiszahl $\pi$
- Bedeutung: Verhältnis $U/d$
- Näherung: $3{,}14$
- Kreisumfang: $U=\pi d=2\pi r$
- Kreisfläche: $A=\pi r^2$
- Zahleneigenschaften: irrational und transzendent
- Bogenmaß: Vollkreis entspricht $2\pi$ Radiant
- Annäherung: Messungen, Vielecke und Algorithmen
Abschluss-Check
Du hast das Ziel erreicht, wenn du $\pi$ als Verhältnis erklären, zwischen exaktem Wert und Näherung unterscheiden und die passende Kreisformel begründet auswählen kannst.