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Kreisausschnitt berechnen: Formeln und Beispiele
Ein Kreisausschnitt ist der Teil einer Kreisfläche, der zu einem Mittelpunktswinkel gehört. Du berechnest Kreisbogen und Fläche als denselben Anteil von Umfang und Kreisfläche: $\frac{\alpha}{360^\circ}$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Vom Winkel zum Kreisanteil
Stell dir eine runde Pizza vor. Zwei Radien vom Mittelpunkt zum Rand und der Rand dazwischen begrenzen ein Stück. Dieses Stück ist ein Kreisausschnitt, auch Kreissektor genannt.
Kreisausschnitt
Ein Kreisausschnitt ist eine Teilfläche eines Kreises. Er wird von zwei Radien und dem dazwischenliegenden Kreisbogen begrenzt. Bestimmt wird er durch den Radius $r$ und den Mittelpunktswinkel $\alpha$.
Der Vollkreis hat $360^\circ$. Deshalb beschreibt
$$\frac{\alpha}{360^\circ}$$
den Anteil des Kreisausschnitts am ganzen Kreis. Bei $90^\circ$ ist der Anteil $\frac{90^\circ}{360^\circ}=\frac14$; bei $180^\circ$ ist er $\frac12$.
Derselbe Winkelanteil gilt zweimal: für den Kreisbogen am Umfang und für den Kreisausschnitt an der Kreisfläche.
Den Kreisbogen berechnen
Der Kreisbogen $b$ ist der gekrümmte Rand zwischen den beiden Radien. Der ganze Kreisumfang ist $U=2\pi r=\pi d$. Multipliziere ihn mit dem Winkelanteil:
$$b=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r$$
Mit dem Durchmesser $d=2r$ kannst du auch rechnen:
$$b=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi d$$
Gegeben sind $\alpha=40^\circ$ und $d=8\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist $b$.
Zuerst bestimmst du den Winkelanteil: $\frac{40^\circ}{360^\circ}=\frac19$.
Dann verwendest du den ganzen Umfang $\pi d$:
$$b=\frac19\cdot\pi\cdot8\,\mathrm{cm}=\frac{8\pi}{9}\,\mathrm{cm}\approx2{,}79\,\mathrm{cm}$$
Die Einheit ist Zentimeter, weil eine Länge gesucht ist. Der Bogen ist kürzer als der Umfang $8\pi\,\mathrm{cm}$; das passt zu einem Neuntelkreis.
Die Fläche des Kreisausschnitts berechnen
Die ganze Kreisfläche ist $A=\pi r^2$. Auch hier multiplizierst du mit dem Winkelanteil:
$$A_s=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2$$
$A_s$ bezeichnet die Fläche des Kreisausschnitts. Wenn der Durchmesser gegeben ist, halbierst du ihn zuerst: $r=\frac d2$.
Gegeben sind $\alpha=40^\circ$ und $d=8\,\mathrm{cm}$. Damit ist $r=4\,\mathrm{cm}$.
$$A_s=\frac{40^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\cdot(4\,\mathrm{cm})^2$$
$$A_s=\frac{16\pi}{9}\,\mathrm{cm}^2\approx5{,}6\,\mathrm{cm}^2$$
Die Quadrateinheit passt zu einer Fläche. Außerdem ist das Ergebnis ein Neuntel der ganzen Kreisfläche $16\pi\,\mathrm{cm}^2$.
Verwendest du den Winkel im Bogenmaß statt in Grad, gelten $b=r\alpha$ und $A_s=\frac12r^2\alpha$. Setze einen Gradwert nie direkt in diese Formeln ein. Achte beim Taschenrechner auf DEG für Gradmaß und RAD für Bogenmaß.
Fehlende Größen rückwärts bestimmen
Auch bei einer Umkehraufgabe bleibt der Winkelanteil die Grundlage. Stelle zuerst die passende Formel nach der gesuchten Größe um.
Aus der Bogenformel folgen:
$$\alpha=\frac{360^\circ\,b}{2\pi r}$$
$$r=\frac{360^\circ\,b}{2\pi\alpha}$$
Aus der Flächenformel folgen:
$$\alpha=\frac{360^\circ A_s}{\pi r^2}$$
$$r=\sqrt{\frac{360^\circ A_s}{\pi\alpha}}$$
Beim Radius nimmst du die positive Quadratwurzel, denn eine geometrische Länge ist nicht negativ. Für den Durchmesser verdoppelst du anschließend: $d=2r$.
Gegeben sind $A_s=10\,\mathrm{cm}^2$ und $\alpha=40^\circ$. Gesucht ist der Durchmesser.
$$r=\sqrt{\frac{360^\circ\cdot10\,\mathrm{cm}^2}{\pi\cdot40^\circ}}=\sqrt{\frac{90}{\pi}}\,\mathrm{cm}\approx5{,}35\,\mathrm{cm}$$
$$d=2r\approx10{,}7\,\mathrm{cm}$$
Zur Probe setzt du $r$ in die Ausgangsformel ein; sie liefert wieder ungefähr $10\,\mathrm{cm}^2$.
Vertiefung: Bogenlänge und Fläche sind gegeben
Kennst du $b$ und $A_s$, gilt für denselben Kreisausschnitt:
$$A_s=\frac12br$$
Daraus erhältst du
$$r=\frac{2A_s}{b}$$
und danach den Winkel mit $\alpha=\frac{180^\circ b}{\pi r}$.
Bei $A_s=30\,\mathrm{cm}^2$ und $b=12\,\mathrm{cm}$ ist
$$r=\frac{2\cdot30\,\mathrm{cm}^2}{12\,\mathrm{cm}}=5\,\mathrm{cm}$$
und $\alpha=\frac{432^\circ}{\pi}\approx137{,}5^\circ$.
Kreisausschnitt und Kreisabschnitt unterscheiden
Die ähnlich klingenden Begriffe bezeichnen verschiedene Flächen.
- Ein Kreisausschnitt wird von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzt.
- Ein Kreisabschnitt, auch Kreissegment, wird von einer Sehne und einem Kreisbogen begrenzt. Eine Sehne ist eine gerade Strecke zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie.
Für denselben Kreisbogen erhältst du den zugehörigen Kreisabschnitt, indem du vom Kreisausschnitt das Dreieck zwischen den beiden Radien und der Sehne abziehst:
$$A_{\text{Kreisabschnitt}}=A_{\text{Kreisausschnitt}}-A_{\text{Dreieck}}$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kreisausschnitt
- Bestimmt durch Radius $r$ und Mittelpunktswinkel $\alpha$
- Anteil am Vollkreis $\frac{\alpha}{360^\circ}$
- Kreisbogen $b=\frac{\alpha}{360^\circ}2\pi r$
- Fläche $A_s=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2$
- Umkehraufgaben
- Formel nach der gesuchten Größe umstellen
- Einheit und Plausibilität prüfen
- Abgrenzung
- Kreisausschnitt: zwei Radien und Kreisbogen
- Kreisabschnitt: Sehne und Kreisbogen