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Kreissektor und Kreisbogen berechnen
Ein Kreisbogen ist ein Teil des Kreisumfangs, ein Kreissektor ein Teil der Kreisfläche. Beide gehören zum selben Mittelpunktswinkel $\alpha$: Der Bruch $\frac{\alpha}{360^\circ}$ sagt, welcher Anteil des ganzen Kreises gemeint ist.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Begriffe sicher unterscheiden
Stell dir zwei Radien vor, die vom Mittelpunkt zur Kreislinie führen. Zusammen mit dem Bogen zwischen ihren Endpunkten begrenzen sie einen Kreissektor.
Kreisbogen
Der Kreisbogen $b$ ist ein Teil der Kreislinie. Er ist eine Länge und hat deshalb zum Beispiel die Einheit $\mathrm{cm}$.
Kreissektor
Der Kreissektor, auch Kreisausschnitt genannt, ist die Fläche zwischen zwei Radien und dem zugehörigen Kreisbogen. Seine Fläche $A_s$ hat zum Beispiel die Einheit $\mathrm{cm}^2$.
Der von den beiden Radien eingeschlossene Winkel heißt Mittelpunktswinkel $\alpha$. Eine Kreissehne verbindet dagegen zwei Punkte der Kreislinie als gerade Strecke. Ein Kreissegment liegt zwischen einer solchen Sehne und einem Kreisbogen.
Der Winkel bestimmt den Anteil
Ein Vollkreis hat $360^\circ$. Deshalb beschreibt
$$\frac{\alpha}{360^\circ}$$
den Anteil des Kreisbogens am ganzen Umfang und zugleich den Anteil des Kreissektors an der ganzen Kreisfläche.
Für den ganzen Kreis gelten:
$$U=2\pi r=\pi d$$
$$A=\pi r^2$$
Dabei ist $r$ der Radius und $d=2r$ der Durchmesser. Multiplizierst du die passende ganze Kreisgröße mit dem Winkelanteil, erhältst du:
$$b=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi d$$
$$A_s=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2$$
Erst den Winkelanteil bestimmen, dann mit Umfang für eine Bogenlänge oder mit Kreisfläche für eine Sektorfläche multiplizieren.
Kreisbogen berechnen
Gegeben sind Winkel und Radius oder Durchmesser. Entscheide zuerst, welche Form der Bogenformel zu den Angaben passt.
Gegeben sind $\alpha=40^\circ$ und $d=8\,\mathrm{cm}$.
Der Winkelanteil ist $40^\circ/360^\circ=1/9$. Mit der Durchmesserform folgt:
$$b=\frac{40^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\cdot8\,\mathrm{cm}$$
$$b=\frac{8\pi}{9}\,\mathrm{cm}\approx2{,}79\,\mathrm{cm}$$
Der Kreisbogen ist ungefähr $2{,}79\,\mathrm{cm}$ lang. Das ist plausibel: Bei nur einem Neuntel des Kreises muss der Bogen deutlich kürzer als der ganze Umfang sein.
Nun bist du dran: Ein Kreis hat $r=6\,\mathrm{cm}$ und $\alpha=120^\circ$. Wie lang ist der Kreisbogen?
Sektorfläche berechnen
Für eine Fläche brauchst du den Radius. Ist der Durchmesser gegeben, halbierst du ihn zuerst.
Gegeben sind $\alpha=40^\circ$ und $d=8\,\mathrm{cm}$. Somit ist $r=4\,\mathrm{cm}$.
$$A_s=\frac{40^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\cdot(4\,\mathrm{cm})^2$$
$$A_s=\frac{16\pi}{9}\,\mathrm{cm}^2\approx5{,}6\,\mathrm{cm}^2$$
Der Sektor bedeckt ungefähr $5{,}6\,\mathrm{cm}^2$. Die Quadrateinheit zeigt, dass eine Fläche berechnet wurde.
Übertrage das Verfahren auf $r=6\,\mathrm{cm}$ und $\alpha=120^\circ$.
Umkehraufgaben lösen
Bei einer Umkehraufgabe ist der Bogen oder die Sektorfläche bekannt. Du setzt die Werte in dieselbe Grundformel ein und löst erst danach nach der unbekannten Größe auf.
Gegeben sind $\alpha=40^\circ$ und $b=5\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist der Durchmesser $d$.
$$5\,\mathrm{cm}=\frac{40^\circ}{360^\circ}\cdot\pi d=\frac{1}{9}\pi d$$
Beide Seiten werden mit $9$ multipliziert und anschließend durch $\pi$ geteilt:
$$d=\frac{45}{\pi}\,\mathrm{cm}\approx14{,}32\,\mathrm{cm}$$
Der ganze Umfang ist dann $\pi d=45\,\mathrm{cm}$. Ein Neuntel davon sind wieder $5\,\mathrm{cm}$; die Rückprobe stimmt.
Ist stattdessen $A_s$ gegeben, entsteht beim Auflösen zunächst $r^2$. Danach ziehst du die positive Quadratwurzel, weil ein Radius eine nichtnegative Länge ist.
Für $\alpha=40^\circ$ und $A_s=10\,\mathrm{cm}^2$ gilt:
$$10\,\mathrm{cm}^2=\frac{1}{9}\pi r^2$$
$$r^2=\frac{90}{\pi}\,\mathrm{cm}^2$$
$$r=\sqrt{\frac{90}{\pi}}\,\mathrm{cm}\approx5{,}35\,\mathrm{cm}$$
Damit ist $d=2r\approx10{,}7\,\mathrm{cm}$.
Typische Fehler vermeiden
Prüfe vor und nach jeder Rechnung vier Punkte:
- Verwendest du für $A_s$ wirklich den Radius und nicht den Durchmesser?
- Passt die Grundgröße: Umfang für $b$, Fläche für $A_s$?
- Steht der Winkel im Gradmaß, wenn du durch $360^\circ$ teilst?
- Hat das Ergebnis die richtige Einheit: Länge oder Fläche?
Gradmaß und Bogenmaß dürfen nicht unbemerkt vermischt werden. Die Formeln dieser Seite verwenden das Gradmaß und deshalb den Nenner $360^\circ$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kreisteile mit Mittelpunktswinkel $\alpha$
- Kreisbogen: Winkelanteil mal Umfang
- Kreissektor: Winkelanteil mal Kreisfläche
- Direkte Aufgabe: bekannte Werte einsetzen
- Umkehraufgabe: Gleichung nach gesuchter Größe auflösen
- Kontrolle: Anteil, Einheit und Plausibilität prüfen