Mit Google fortfahren
Kreisbogen berechnen: Formeln einfach erklärt
Ein Kreisbogen ist ein zusammenhängender Teil der Kreislinie. Seine Länge hängt vom Radius und vom Mittelpunktswinkel ab: Ein Winkel von $90^\circ$ gehört zu einem Viertel des Kreisumfangs, $180^\circ$ zu einer Hälfte.
Auf dieser Seite lernst du, Kreisbögen sicher zu erkennen, ihre Länge im Gradmaß zu berechnen und Formeln nach einer gesuchten Kreisgröße umzustellen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was gehört zu einem Kreisbogen?
Wähle zwei Punkte $A$ und $B$ auf einer Kreislinie. Die beiden Radien von $A$ und $B$ zum Mittelpunkt schließen den Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel $\alpha$ ein. Der zu diesem Winkel gehörende Teil der Kreislinie ist ein Kreisbogen.
Kreisbogen
Ein Kreisbogen ist ein zusammenhängendes Teilstück der Kreislinie. Seine Länge wird meist mit $b$ bezeichnet.
Zwei Randpunkte teilen die Kreislinie immer in zwei Bögen. Deshalb kann $\widehat{AB}$ mehrdeutig sein. Ein dritter Punkt macht den gemeinten Bogen eindeutig: $\widehat{ACB}$ bezeichnet den Bogen von $A$ nach $B$, der durch $C$ führt. Sind $A$ und $B$ gegenüberliegende Punkte, sind beide Bögen gleich lang.
Verwechsle Länge und Fläche nicht: Der Kreisbogen ist ein Teil der Außenlinie und wird in Längeneinheiten wie Zentimetern angegeben. Der Kreissektor oder Kreisausschnitt ist eine Fläche und wird zum Beispiel in Quadratzentimetern angegeben.
Warum ist der Winkelanteil entscheidend?
Ein Vollkreis hat den Winkel $360^\circ$ und den Umfang $U=2\pi r=\pi d$. Bogenlänge und Mittelpunktswinkel sind proportional: Verdoppelst du bei unverändertem Radius den Winkel, verdoppelt sich auch die Bogenlänge.
Der Anteil des Bogens am Umfang ist daher genauso groß wie der Anteil des Winkels am Vollwinkel:
$$\frac{b}{U}=\frac{\alpha}{360^\circ}$$
Im Gradmaß gilt:
$$b=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r$$
Mit dem Durchmesser $d=2r$ kannst du auch rechnen:
$$b=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi d$$
Ein schneller Plausibilitätscheck hilft: Bei $90^\circ$ muss ein Viertel des Umfangs herauskommen, bei $180^\circ$ die Hälfte und bei $270^\circ$ drei Viertel.
Wie berechnest du die Bogenlänge?
Gehe in drei Schritten vor:
- Prüfe, ob Radius $r$ oder Durchmesser $d$ gegeben ist.
- Bestimme den Winkelanteil $\alpha/360^\circ$.
- Multipliziere diesen Anteil mit dem gesamten Kreisumfang.
Gegeben sind $\alpha=40^\circ$ und $d=8\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist $b$.
Der Umfang wäre $\pi d$. Davon brauchst du den Anteil $40^\circ/360^\circ=1/9$:
$$b=\frac{40^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\cdot 8\,\mathrm{cm}$$
$$b=\frac{8\pi}{9}\,\mathrm{cm}\approx 2{,}79\,\mathrm{cm}$$
Der Kreisbogen ist ungefähr $2{,}79\,\mathrm{cm}$ lang. Das ist plausibel: Der Bogen umfasst nur ein Neuntel des Kreisumfangs.
Achte auf die Einheit: Setzt du den Radius oder Durchmesser in Zentimetern ein, erhältst du die Bogenlänge in Zentimetern.
Wie stellst du die Formel um?
Ist die Bogenlänge gegeben, kann der Radius oder Durchmesser gesucht sein. Stelle die Formel zuerst um und setze erst danach Zahlen ein.
Aus
$$b=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi d$$
folgt durch Multiplikation mit $360^\circ$ und Division durch $\alpha\pi$:
$$d=\frac{360^\circ\cdot b}{\alpha\pi}$$
Für den Radius gilt entsprechend:
$$r=\frac{180^\circ\cdot b}{\alpha\pi}$$
Gegeben sind $b=5\,\mathrm{cm}$ und $\alpha=40^\circ$. Gesucht ist $d$.
$$d=\frac{360^\circ\cdot5\,\mathrm{cm}}{40^\circ\pi}$$
$$d=\frac{45}{\pi}\,\mathrm{cm}\approx14{,}32\,\mathrm{cm}$$
Der Durchmesser beträgt ungefähr $14{,}32\,\mathrm{cm}$. Zur Probe eingesetzt liefert dieser Wert wieder einen Bogen von $5\,\mathrm{cm}$.
Radius und Bogenlänge müssen zur selben Längeneinheit passen. Wandle zum Beispiel Millimeter in Zentimeter um, bevor du Werte gemeinsam einsetzt.
Vertiefung: Was ändert sich im Bogenmaß?
Ein Winkel kann statt in Grad auch im Bogenmaß angegeben werden. Im Bogenmaß ist der Winkel als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius definiert:
$$\alpha=\frac{b}{r}$$
Daraus folgt direkt:
$$b=r\alpha$$
Für $r=3\,\mathrm{cm}$ und $\alpha=2$ im Bogenmaß gilt:
$$b=3\,\mathrm{cm}\cdot2=6\,\mathrm{cm}$$
Nutze $b=(\alpha/360^\circ)\cdot2\pi r$, wenn $\alpha$ im Gradmaß steht. Nutze $b=r\alpha$, wenn $\alpha$ im Bogenmaß steht. Mische beide Darstellungen nicht.
Bei Taschenrechneraufgaben bedeutet DEG Gradmaß und RAD Bogenmaß. Für die hier gezeigte Gradformel musst du Winkelwerte in Grad einsetzen; für $b=r\alpha$ muss der Winkel im Bogenmaß vorliegen.
Üben und Ergebnisse prüfen
Prüfe vor jeder Rechnung: Ist die gesuchte Größe eine Länge? Welcher Winkelanteil gehört zum Bogen? Sind die Längeneinheiten gleich? Passt die Formel zum Grad- oder Bogenmaß?
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kreisbogen
- Bedeutung: Teil der Kreislinie, begrenzt durch zwei Punkte
- Gradmaß: Winkelanteil $\alpha/360^\circ$ und Formel $b=(\alpha/360^\circ)\cdot2\pi r$
- Bogenmaß: $\alpha=b/r$ und Formel $b=r\alpha$
- Kontrolle: passende Längeneinheit und plausibler Anteil