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Ein Kreisbogen ist ein Stück vom Rand eines Kreises, zum Beispiel der Rand eines Pizzastücks. Danach kannst du seine Länge aus Radius und Mittelpunktswinkel berechnen.
- Ich kann Kreisbogen, Radius und Mittelpunktswinkel benennen.
- Ich kann die Bogenlänge mit Gradmaß berechnen.
- Ich kann erkennen, wann der ganze Umfang gebraucht wird.
- Ich kann Einheiten passend verwenden.
Vom ganzen Kreis zum Bogen
Ein ganzer Kreis hat den Umfang \(U=2\pi r\). Ein Kreisbogen ist nur ein Anteil dieses Umfangs.
Kreisbogen
Ein Kreisbogen ist ein zusammenhängendes Stück der Kreislinie. Seine Länge hängt vom Radius \(r\) und vom Mittelpunktswinkel \(\alpha\) ab.
Bogenlänge
Für den Winkel \(\alpha\) im Gradmaß gilt:
Dabei ist \(b\) die Länge des Kreisbogens.
Ein Kreis hat Radius \(r=6\,cm\). Gesucht ist die Bogenlänge bei \(\alpha=90^\circ\).
Der Winkel ist ein Viertel von \(360^\circ\). \(b=\frac{90}{360}\cdot2\pi\cdot6=\frac14\cdot12\pi=3\pi\).
Der Kreisbogen ist ungefähr \(9{,}42\,cm\) lang.
Bogenlänge ist Winkelanteil mal Kreisumfang.
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Winkelanteil verstehen
Der Bruch \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) sagt, welcher Anteil des Kreisumfangs gemeint ist.
Bei \(180^\circ\) ist der Bogen ein Halbkreis. \(r=5\,cm\). \(b=\frac{180}{360}\cdot2\pi\cdot5=5\pi\,cm\).
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Prüfungsmodus
Achte darauf, ob Radius oder Durchmesser gegeben ist. Wenn der Durchmesser gegeben ist, halbierst du ihn zuerst.
Gegeben ist der Durchmesser \(d=20\,cm\) und \(\alpha=72^\circ\).
Radius: \(r=10\,cm\). \(b=\frac{72}{360}\cdot2\pi\cdot10=\frac15\cdot20\pi=4\pi\,cm\).
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Die Bogenlänge ist ein Teil des Kreisumfangs. Du berechnest zuerst den Winkelanteil \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) und multiplizierst ihn mit \(2\pi r\). Bei gegebenem Durchmesser bestimmst du vorher den Radius.