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Lagebeziehung von Ebenen bestimmen
Zwei Ebenen im Raum sind entweder identisch, echt parallel oder sie schneiden sich in einer Geraden. Welches Prüfverfahren am schnellsten ist, hängt von der Darstellungsform der Ebenen ab.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die drei möglichen Lagebeziehungen
Stell dir Ebenen als unbegrenzt ausgedehnte Flächen vor. Eine gezeichnete Fläche zeigt deshalb immer nur einen Ausschnitt.
Identische Ebenen
Zwei Ebenen sind identisch, wenn jeder Punkt der einen Ebene auch zur anderen gehört. Sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte und gemeinsame Geraden.
Echt parallele Ebenen
Zwei Ebenen sind echt parallel, wenn sie dieselbe Ausrichtung, aber keinen gemeinsamen Punkt besitzen.
Schneidende Ebenen
Zwei nicht parallele Ebenen schneiden sich in genau einer Geraden. Diese heißt Schnittgerade und enthält alle gemeinsamen Punkte.
Bei zwei Ebenen gibt es im Raum genau drei Fälle: identisch, echt parallel oder schneidend. Ein einzelner Schnittpunkt ist bei zwei vollständigen Ebenen nicht möglich.
Koordinatenformen sicher vergleichen
Eine Ebene in Koordinatenform hat die Gestalt
$$ax+by+cz=d.$$
Der Vektor $n=(a|b|c)$ steht senkrecht auf der Ebene und heißt Normalenvektor.
Für zwei Koordinatenformen gehst du in zwei Stufen vor:
- Lies die Normalenvektoren $n_1$ und $n_2$ ab.
- Prüfe, ob ein Faktor $k$ mit $n_2=k\cdot n_1$ existiert.
- Gibt es keinen solchen Faktor, schneiden sich die Ebenen.
- Gibt es einen Faktor, vergleiche auch die rechten Seiten mit genau demselben Faktor.
Gegeben sind
$$E_1: 2x-3y+z=10$$
und
$$E_2: -4x+6y-2z=-20.$$
Es gilt $n_2=-2\cdot n_1$. Auch die rechte Seite wurde mit $-2$ multipliziert: $-20=-2\cdot10$. Die vollständige zweite Gleichung ist also das $-2$-Fache der ersten. Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Ebene.
Ergebnis: $E_1$ und $E_2$ sind identisch.
Gegeben sind
$$E_1: 4x-2y+3z=1$$
und
$$E_2: 12x-6y+9z=18.$$
Für die Normalen gilt $n_2=3\cdot n_1$. Die rechte Seite müsste dann ebenfalls das Dreifache sein. Doch $18$ ist nicht $3\cdot1$.
Die Ebenen haben dieselbe Ausrichtung, aber ihre vollständigen Gleichungen sind keine Vielfachen.
Ergebnis: Die Ebenen sind echt parallel.
Vergleiche bei kollinearen Normalenvektoren immer auch die rechte Seite. Nur derselbe Faktor in der gesamten Gleichung beweist, dass die Ebenen identisch sind.
Eine Schnittgerade berechnen
Sind die Normalenvektoren nicht kollinear, steht bereits fest, dass eine Schnittgerade existiert. Um sie zu bestimmen, löst du die beiden Koordinatengleichungen gemeinsam.
Da zwei Gleichungen drei Koordinaten enthalten, bleibt normalerweise eine Koordinate frei. Diese freie Koordinate wird zum Parameter der Schnittgeraden.
Gegeben sind
$$E_1:2x-y+z=1$$
und
$$E_2:3x+2y-z=3.$$
Die Normalenvektoren $(2|-1|1)$ und $(3|2|-1)$ sind keine Vielfachen. Die Ebenen schneiden sich.
Verdopple zunächst $E_1$:
$$4x-2y+2z=2.$$
Addiere $E_2$. Dadurch fällt $y$ weg:
$$7x+z=5,$$
also
$$z=5-7x.$$
Setze dies in $E_1$ ein:
$$2x-y+5-7x=1.$$
Daraus folgt
$$y=4-5x.$$
Wähle nun $x=s$ als freien Parameter. Dann gilt
$$x=s,\qquad y=4-5s,\qquad z=5-7s.$$
Die Schnittgerade lautet damit
$$g: (x|y|z)=(0|4|5)+s\cdot(1|-5|-7).$$
Zur Kontrolle setzt du einen allgemeinen Geradenpunkt in beide Ebenengleichungen ein. Für $E_1$ entsteht stets $1$, für $E_2$ stets $3$. Somit liegt die ganze Gerade in beiden Ebenen.
Übung: Bestimme die Schnittgerade
Untersuche
$$E_1:x+y+z=3$$
und
$$E_2:x-y+z=1.$$
Bestimme zuerst die Lage und anschließend die Schnittgerade.
Parameterform in Koordinatenform einsetzen
Liegt eine Ebene in Parameterform und die andere in Koordinatenform vor, setzt du die drei Koordinaten der Parameterform in die Koordinatengleichung ein.
Das Ergebnis verrät die Lage:
- Eine immer wahre Aussage wie $2=2$ bedeutet: Die Ebenen sind identisch.
- Eine falsche Aussage wie $5=1$ bedeutet: Die Ebenen sind echt parallel.
- Eine Beziehung zwischen den Parametern bedeutet: Die Ebenen schneiden sich.
Gegeben sind
$$H:7x_1+x_2-3x_3-8=0$$
und
$$E:(x_1|x_2|x_3)=(0|1|0)+\lambda(0|-1|2)+\mu(1|0|0).$$
Aus der Parameterform folgen
$$x_1=\mu,\qquad x_2=1-\lambda,\qquad x_3=2\lambda.$$
Einsetzen in $H$ ergibt
$$7\mu+(1-\lambda)-3\cdot2\lambda-8=0.$$
Zusammenfassen liefert
$$7\mu-7\lambda-7=0$$
und damit
$$\mu=\lambda+1.$$
Es entsteht eine Parameterbeziehung. Die Ebenen schneiden sich also. Setze $\mu=\lambda+1$ in $E$ ein:
$$g:(x_1|x_2|x_3)=(1|1|0)+\lambda(1|-1|2).$$
Der Stützpunkt erfüllt $H$, und auch der allgemeine Geradenpunkt liefert beim Einsetzen stets $0$. Damit ist die Schnittgerade kontrolliert.
Typische Fehler vermeiden
Nur die Normalen vergleichen: Kollineare Normalen beweisen zunächst nur dieselbe Ausrichtung. Erst der Vergleich der vollständigen Gleichungen trennt Identität von echter Parallelität.
Den Faktor wechseln: Wenn $n_2=3\cdot n_1$ gilt, muss für identische Ebenen auch die rechte Seite mit genau $3$ multipliziert worden sein.
Die freie Variable vergessen: Zwei schneidende Ebenen liefern eine ganze Gerade. Deshalb bleibt beim Lösen eine Variable frei und wird als Parameter verwendet.
Nur den Stützpunkt kontrollieren: Ein gemeinsamer Punkt allein beweist noch nicht, dass die berechnete Gerade vollständig in beiden Ebenen liegt. Setze auch den Richtungsanteil beziehungsweise den allgemeinen Geradenpunkt ein.
Eine wahre Aussage falsch deuten: Nach dem Einsetzen bedeutet eine parameterunabhängig wahre Aussage nicht nur „es gibt einen Schnitt“. Sie bedeutet, dass jeder Punkt der eingesetzten Ebene auch auf der anderen liegt; die Ebenen sind identisch.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Lagebeziehung zweier Ebenen
- identisch: alle Punkte gemeinsam
- echt parallel: kein gemeinsamer Punkt
- schneidend: eine gemeinsame Gerade
- Koordinatenformen: Normalen und rechte Seiten vergleichen
- gemischte Formen: Parameterform einsetzen
- Schnittgerade: freie Variable als Parameter wählen
- Kontrolle: allgemeinen Geradenpunkt einsetzen
Abschluss-Check
Du kannst deine Lösung als vollständig ansehen, wenn du zuerst die Lage begründest, bei einem Schnitt eine Geradengleichung angibst und diese anschließend in beiden Ebenen kontrollierst.