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Schnittgerade zweier Ebenen berechnen
Zwei nicht parallele Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Um diese Schnittgerade zu bestimmen, löst du beide Ebenengleichungen gleichzeitig. Eine Variable bleibt frei und wird zum Parameter der Geraden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Zuerst die Lage der Ebenen klären
Eine Ebene in Koordinatenform hat die Gestalt
$$E: ax+by+cz=d.$$
Der Vektor $\vec n=(a,b,c)^T$ steht senkrecht auf der Ebene und heißt Normalenvektor.
Für zwei Ebenen gibt es drei mögliche Lagebeziehungen:
- Sind die Normalenvektoren nicht parallel, schneiden sich die Ebenen in genau einer Geraden.
- Sind die Normalenvektoren parallel und die vollständigen Ebenengleichungen Vielfache voneinander, sind die Ebenen identisch.
- Sind nur die Normalenvektoren parallel, nicht aber die vollständigen Gleichungen, sind die Ebenen echt parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt.
Eine Schnittgerade gibt es genau dann, wenn die Normalenvektoren nicht parallel sind.
Den passenden Rechenweg wählen
Der gemeinsame Grundgedanke lautet: Finde alle Punkte, die beide Ebenengleichungen erfüllen. Der genaue Rechenweg hängt von den Darstellungsformen ab.
Zwei Koordinatenformen
Du löst zwei Gleichungen mit drei Variablen. Bei schneidenden Ebenen bleibt eine Variable frei.
- Vereinfache das lineare Gleichungssystem.
- Setze eine Variable gleich einem freien Parameter, zum Beispiel $z=\lambda$.
- Drücke die beiden anderen Variablen durch $\lambda$ aus.
- Ordne die Koordinaten als Stützvektor plus Parameter mal Richtungsvektor.
Eine Koordinatenform und eine Parameterform
Setze die drei Koordinatenausdrücke der Parameterform in die Koordinatengleichung ein. Löse die entstehende Beziehung nach einem Ebenenparameter auf und setze sie zurück in die Parameterform.
Zwei Parameterformen
Setze die Ebenengleichungen gleich. Dadurch entstehen drei Koordinatengleichungen mit vier Ebenenparametern. Drücke drei Parameter durch den verbleibenden freien Parameter aus und setze sie in eine der Ebenen ein.
Freier Parameter
Ein freier Parameter darf alle reellen Zahlen annehmen. Jeder seiner Werte liefert einen anderen Punkt der Schnittgeraden.
Ein vollständiges Beispiel rechnen
Gegeben sind die Ebenen
$$E_1: x-y=-1$$
und
$$E_2: -y+z=2.$$
Ihre Normalenvektoren $\vec n_1=(1,-1,0)^T$ und $\vec n_2=(0,-1,1)^T$ sind nicht parallel. Es gibt also eine Schnittgerade.
Wir wählen $y=\lambda$ als freie Variable.
Aus $x-y=-1$ folgt
$$x=\lambda-1.$$
Aus $-y+z=2$ folgt
$$z=\lambda+2.$$
Damit haben alle gemeinsamen Punkte die Koordinaten
$$\vec x=\begin{pmatrix}\lambda-1\\lambda\\lambda+2\end{pmatrix}.$$
Wir trennen die konstanten Zahlen von den Koeffizienten des Parameters:
$$g:\vec x=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\qquad \lambda\in\mathbb R.$$
Der Stützpunkt $P=(-1,0,2)$ liegt in beiden Ebenen. Der Richtungsvektor $(1,1,1)^T$ beschreibt, wie sich die Punkte der Schnittgeraden verändern.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Wählst du für denselben Rechenweg $y=1$, erhältst du $x=$ und $z=$. Damit ist $P=(,1,)$ ein weiterer Punkt der Schnittgeraden.
Das Ergebnis sicher prüfen
Eine Geradengleichung hat die Form
$$g:\vec x=\vec p+t\vec u.$$
Dabei ist $\vec p$ der Stützvektor eines gemeinsamen Punktes und $\vec u$ ein Richtungsvektor der Schnittgeraden.
Prüfe dein Ergebnis in zwei Schritten:
- Stützpunkt prüfen: Setze die Koordinaten von $\vec p$ in beide Ebenengleichungen ein.
- Richtung prüfen: Der Richtungsvektor muss senkrecht zu beiden Normalenvektoren sein. Es muss also $\vec n_1\cdot\vec u=0$ und $\vec n_2\cdot\vec u=0$ gelten.
Im Beispiel gilt für $\vec u=(1,1,1)^T$:
$$\vec n_1\cdot\vec u=1-1+0=0$$
und
$$\vec n_2\cdot\vec u=0-1+1=0.$$
Damit verläuft die Gerade in beiden Ebenen.
Alternativ kannst du eine Geradenrichtung mit dem Kreuzprodukt bestimmen: $\vec n_1\times\vec n_2=(-1,-1,-1)^T$. Dieser Vektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung zu $(1,1,1)^T$ und beschreibt deshalb dieselbe Gerade.
Typische Fehler vermeiden
- Nur einen gemeinsamen Punkt angeben: Eine Schnittgerade besteht aus unendlich vielen gemeinsamen Punkten. Du brauchst zusätzlich einen Richtungsvektor.
- Eine Variable ohne Parameter frei lassen: Schreibe etwa $y=\lambda$ und verwende denselben Parameter anschließend in allen Koordinaten.
- Parallele Normalen sofort als identische Ebenen deuten: Prüfe zusätzlich, ob die vollständigen Gleichungen Vielfache voneinander sind.
- Verschiedene Geradengleichungen für verschiedene Geraden halten: Stützpunkte können verschieden sein. Auch ein von null verschiedenes Vielfaches des Richtungsvektors beschreibt dieselbe Richtung.
- Die Probe auslassen: Ein Vorzeichenfehler kann dazu führen, dass der Stützpunkt oder die Richtung nicht in beiden Ebenen liegt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Schnittgerade zweier Ebenen
- Lage mit Normalenvektoren prüfen
- Beide Ebenengleichungen gleichzeitig lösen
- Eine Variable als Parameter wählen
- Stützpunkt und Richtungsvektor ablesen
- Punkt und Richtung kontrollieren
Abschluss-Check
Du kannst eine Schnittgerade nun als Lösungsmenge zweier Ebenengleichungen verstehen: Der Stützpunkt liefert eine gemeinsame Ausgangsposition, der Richtungsvektor und der freie Parameter erzeugen alle weiteren gemeinsamen Punkte.