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Maßstab verstehen und sicher berechnen
Ein Maßstab vergleicht eine Länge in einer Darstellung mit der passenden Länge in der Wirklichkeit. Beim Maßstab $1:50\,000$ entspricht zum Beispiel $1\,\text{cm}$ auf einer Karte genau $50\,000\,\text{cm}$ in der Wirklichkeit.
Auf dieser Seite lernst du, Maßstäbe zu lesen, wirkliche Längen zu berechnen und einen Maßstab aus zwei Längen zu bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet ein Maßstab?
Ein Plan, eine Landkarte oder ein Modell zeigt einen Gegenstand meist verkleinert. Eine Mikroskopabbildung kann ihn dagegen vergrößert zeigen.
Maßstab
Der Maßstab ist das Verhältnis
Darstellung : Wirklichkeit.
Beim Maßstab $1:100$ steht die erste Zahl für die Länge in der Darstellung und die zweite für die entsprechende Länge in der Wirklichkeit. Beide Längen müssen dabei in derselben Einheit betrachtet werden.
- $1:x$ bedeutet eine Verkleinerung. Bei $1:100$ ist die dargestellte Länge ein Hundertstel so lang wie die wirkliche Länge.
- $x:1$ bedeutet eine Vergrößerung. Bei $20:1$ ist die dargestellte Länge zwanzigmal so groß wie die wirkliche Länge.
- $1:1$ bedeutet Originalgröße.
Eine Karte hat den Maßstab $1:5000$.
$1\,\text{cm}$ auf der Karte entspricht daher $5000\,\text{cm}$ in der Wirklichkeit. Das sind $50\,\text{m}$.
Lies einen Maßstab immer von links nach rechts: Darstellung : Wirklichkeit.
Wie berechnest du eine wirkliche Länge?
Bei einer Verkleinerung der Form $1:x$ multiplizierst du die Planlänge mit der zweiten Zahl:
$$\text{wirkliche Länge}=\text{Planlänge}\cdot x$$
Vor dem Rechnen klärst du also drei Punkte:
- Welche Länge gehört zur Darstellung?
- Welche Länge gehört zur Wirklichkeit?
- In welcher Einheit soll das Ergebnis stehen?
Auf einer Karte im Maßstab $1:50\,000$ beträgt eine Strecke $3{,}6\,\text{cm}$.
Zuerst berechnest du die wirkliche Länge in Zentimetern:
$$3{,}6\,\text{cm}\cdot 50\,000=180\,000\,\text{cm}$$
Dann wandelst du um. Weil $100\,000\,\text{cm}=1\,\text{km}$ gilt:
$$180\,000\,\text{cm}=1{,}8\,\text{km}$$
Die Strecke ist in Wirklichkeit $1{,}8\,\text{km}$ lang.
Eine Angabe wie $1\,\text{cm}:25\,\text{km}$ nennt die unterschiedlichen Einheiten bereits ausdrücklich. Bei einer Kartenlänge von $4\,\text{cm}$ rechnest du dann direkt:
$$4\cdot 25\,\text{km}=100\,\text{km}$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Maßstab $1:50\,000$ wird die Kartenlänge mit multipliziert. Eine Kartenstrecke von $2\,\text{cm}$ entspricht deshalb . Das sind .
Warum musst du Einheiten umrechnen?
Ein Zahlenmaßstab wie $1:2500$ enthält keine Einheit. Das bedeutet: Links und rechts gilt jeweils dieselbe Einheit.
Für Karten sind diese Umrechnungen besonders nützlich:
- $10\,\text{mm}=1\,\text{cm}$
- $100\,\text{cm}=1\,\text{m}$
- $1000\,\text{m}=1\,\text{km}$
- $100\,000\,\text{cm}=1\,\text{km}$
Eine Strecke ist auf einem Plan im Maßstab $1:5000$ genau $8\,\text{mm}$ lang.
$$8\,\text{mm}\cdot 5000=40\,000\,\text{mm}$$
Da $1000\,\text{mm}=1\,\text{m}$ sind, gilt:
$$40\,000\,\text{mm}=40\,\text{m}$$
Die wirkliche Strecke ist $40\,\text{m}$ lang.
Misst du mit dem Lineal die gerade Kartenstrecke zwischen zwei Orten, erhältst du eine Luftlinie. Sie sagt nicht, wie lang eine Straße oder eine tatsächliche Reiseroute ist.
Wie bestimmst du den Maßstab selbst?
Manchmal kennst du die Planlänge und die wirkliche Länge. Dann gehst du so vor:
- Bringe beide Längen in dieselbe Einheit.
- Schreibe das Verhältnis Plan : Wirklichkeit auf.
- Teile beide Seiten durch die Planlänge, sodass links $1$ steht.
Im Plan sind $5\,\text{cm}$ in Wirklichkeit $50\,\text{m}$.
Zuerst wandelst du um:
$$50\,\text{m}=5000\,\text{cm}$$
Damit lautet das Verhältnis:
$$5:5000$$
Teile beide Zahlen durch $5$:
$$1:1000$$
Der Maßstab ist $1:1000$.
Ein Zahlenmaßstab darf erst gekürzt werden, wenn beide Längen in derselben Einheit stehen.
Was gilt bei Modellen und Flächen?
Auch bei Modellen vergleichst du entsprechende Längen. Ein Modell im Maßstab $1:87$ ist gegenüber dem wirklichen Gegenstand verkleinert.
Ein Modellwagen im Maßstab $1:87$ ist $27\,\text{cm}$ lang.
$$27\,\text{cm}\cdot 87=2349\,\text{cm}$$
$$2349\,\text{cm}=23{,}49\,\text{m}$$
Der wirkliche Wagen ist $23{,}49\,\text{m}$ lang.
Bei einer Vergrößerung wie $20:1$ ist die Darstellung größer als die Wirklichkeit. Ist ein Käfer auf dem Bild $2\,\text{cm}$ lang, teilst du durch $20$:
$$2\,\text{cm}:20=0{,}1\,\text{cm}$$
Vertiefung: Flächen verändern sich quadratisch
Ein Maßstab beschreibt zunächst Längen. Werden alle Seitenlängen eines Quadrats halbiert, ist die neue Fläche nicht halb so groß.
Beim Längenmaßstab $1:2$ gilt für die Fläche:
$$1^2:2^2=1:4$$
Das verkleinerte Quadrat hat also ein Viertel der ursprünglichen Fläche. Beim Längenmaßstab $3:1$ wird die Fläche neunmal so groß, denn $3^2=9$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Maßstab
- lesen: Darstellung steht links, Wirklichkeit rechts
- verkleinern: $1:x$
- vergrößern: $x:1$
- rechnen: gleiche Einheiten verwenden
- anwenden: Karten, Pläne und Modelle
- prüfen: Einheit und Größenordnung kontrollieren
- Fläche: Längenfaktor quadrieren
Abschluss-Check
Prüfe bei jeder Maßstabsaufgabe zum Schluss: Sind Darstellung und Wirklichkeit richtig zugeordnet, stimmen die Einheiten und ist die Größenordnung plausibel?