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Natürliche Zahlen einfach erklärt
Natürliche Zahlen verwendest du zum Zählen: $1, 2, 3, 4, \ldots$ Je nach vereinbarter Schreibweise gehört auch die $0$ dazu. Negative Zahlen, echte Brüche und nicht ganzzahlige Dezimalzahlen sind keine natürlichen Zahlen.
Auf dieser Seite lernst du, natürliche Zahlen zu erkennen, die Rolle der $0$ zu klären und natürliche Zahlen in größere Zahlenmengen einzuordnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du natürliche Zahlen?
Natürliche Zahl
Natürliche Zahlen sind ganze Zahlen, die zum Zählen verwendet werden. Dazu gehören $1, 2, 3, 4, \ldots$; je nach Vereinbarung zählt auch $0$ dazu.
Die Punkte bedeuten: Die Folge wird immer weiter fortgesetzt. Es gibt keine größte natürliche Zahl.
Natürliche Zahlen können unterschiedliche Aufgaben erfüllen:
- Zählen: Auf einem Tisch liegen $6$ Hefte.
- Ordnen: Eine Läuferin erreicht Platz $3$.
- Kennzeichnen: Die Hausnummer $27$ bezeichnet ein bestimmtes Haus.
Nicht natürlich sind beispielsweise $-3$, $\frac{1}{2}$ und $1{,}25$. Sie sind negativ oder keine ganzen Zahlen.
Die Zahl $42$ ist natürlich: Sie ist ganz und positiv. Die Zahl $-42$ ist nicht natürlich, weil sie negativ ist. Auch $\frac{42}{5}$ ist nicht natürlich, weil dieser Bruch keine ganze Zahl ergibt.
Gehört die Null zu den natürlichen Zahlen?
Dafür gibt es zwei gebräuchliche Vereinbarungen, sogenannte Konventionen:
$$\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$$
oder
$$\mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\}.$$
Deshalb reicht das Zeichen $\mathbb N$ allein nicht immer aus, um zu entscheiden, ob $0$ gemeint ist.
Wenn $\mathbb N$ ohne $0$ verwendet wird, bezeichnet häufig
$$\mathbb N_0=\mathbb N\cup\{0\}$$
die natürlichen Zahlen mit $0$. Nach einer anderen verbreiteten Schreibweise enthält $\mathbb N$ bereits die $0$, während $\mathbb N^*$ die positiven natürlichen Zahlen $1,2,3,\ldots$ bezeichnet.
Prüfe bei jeder Aufgabe zuerst die angegebene Definition. Ohne eine solche Angabe solltest du ausdrücklich dazuschreiben, ob du die $0$ einschließt.
Wie entstehen Nachfolger und warum endet das Zählen nie?
Der Nachfolger einer natürlichen Zahl ist die Zahl, die um $1$ größer ist. Du erhältst ihn durch Addition von $1$.
Der Nachfolger von $17$ ist $18$, denn
$$17+1=18.$$
Zwischen $17$ und seinem direkten Nachfolger $18$ liegt keine weitere natürliche Zahl.
Jede natürliche Zahl besitzt einen Nachfolger. Nimmst du irgendeine angeblich größte natürliche Zahl und addierst $1$, erhältst du eine noch größere natürliche Zahl. Daher gibt es keine größte natürliche Zahl.
Die kleinste natürliche Zahl hängt dagegen von der Null-Konvention ab:
- mit $0$: kleinste natürliche Zahl $0$;
- ohne $0$: kleinste natürliche Zahl $1$.
Welche besonderen natürlichen Zahlen gibt es?
Gerade und ungerade Zahlen
Eine natürliche Zahl ist gerade, wenn sie ohne Rest durch $2$ teilbar ist. Andernfalls ist sie ungerade.
Beispiele für gerade Zahlen sind $2,4,6,8,10,12$. Beispiele für ungerade Zahlen sind $1,3,5,7,9,11,13$.
Primzahl
Eine Primzahl besitzt genau zwei positive Teiler: $1$ und sich selbst. Beispiele sind $2,3,5,7,11,13$. Die Zahl $1$ ist keine Primzahl.
Die $2$ ist eine Besonderheit: Sie ist die einzige gerade Primzahl. Jede andere gerade natürliche Zahl ist zusätzlich durch $2$ teilbar und besitzt daher mehr als zwei positive Teiler.
$12$ ist gerade, denn $12=2\cdot6$. Sie ist keine Primzahl.
$13$ ist ungerade und eine Primzahl. Ihre einzigen positiven Teiler sind $1$ und $13$.
Wie gehören die Zahlenmengen zusammen?
Natürliche Zahlen bilden nur einen Teil der Zahlen, mit denen du rechnen kannst.
- Ganze Zahlen $\mathbb Z$ enthalten natürliche Zahlen, die $0$ und negative ganze Zahlen wie $-5$.
- Rationale Zahlen $\mathbb Q$ lassen sich als Bruch ganzer Zahlen schreiben. Dazu gehören etwa $\frac{1}{4}$, $-5$ und $13$.
- Reelle Zahlen $\mathbb R$ umfassen die rationalen Zahlen und zusätzlich irrationale Zahlen wie $\sqrt{2}$.
Die Mengen sind ineinander enthalten:
$$\mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R.$$
Das bedeutet: Jede natürliche Zahl ist auch ganz, rational und reell. Die Umkehrung gilt nicht. Beispielsweise ist $-5$ ganz, aber nicht natürlich. Der Bruch $\frac{1}{4}$ ist rational, aber weder ganz noch natürlich.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Natürliche Zahlen
- Erkennen: ganze Zählzahlen
- Null: Zugehörigkeit hängt von der Konvention ab
- Struktur: jede Zahl hat einen Nachfolger
- Umfang: keine größte natürliche Zahl
- Einteilung: gerade, ungerade oder prim
- Einordnung: Teilmenge der ganzen, rationalen und reellen Zahlen
Abschluss-Check
Wenn du bei einer Zahl zuerst nach Ganzzahligkeit und Vorzeichen fragst, anschließend die Null-Konvention prüfst und dann ihre Teiler untersuchst, kannst du sie sicher einordnen.