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Binärsystem einfach erklärt: Umrechnen und Addieren
Das Binärsystem stellt Zahlen nur mit den Ziffern 0 und 1 dar. Entscheidend ist die Position jeder Ziffer: Von rechts nach links haben die Stellen die Werte 1, 2, 4, 8, 16 und so weiter.
Auf dieser Seite lernst du, Binärzahlen zu lesen, zwischen Binär- und Dezimalsystem umzurechnen und Binärzahlen zu addieren.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie entstehen Zahlen aus 0 und 1?
Das Dezimalsystem verwendet zehn Ziffern und hat die Basis 10. Das Binärsystem, auch Dualsystem oder Zweiersystem genannt, verwendet zwei Ziffern und hat die Basis 2.
Binärsystem
Das Binärsystem ist ein Stellenwertsystem zur Basis 2. Es verwendet ausschließlich die Ziffern 0 und 1.
Beim Zählen wird nach der 1 eine neue Stelle benötigt:
$0_2, 1_2, 10_2, 11_2, 100_2, 101_2, 110_2, 111_2, 1000_2$
Lies eine Binärzahl ziffernweise. $1000_2$ heißt also Eins-Null-Null-Null und hat den Dezimalwert 8.
Der kleine Index zeigt die Basis an. So lässt sich erkennen, ob eine Ziffernfolge binär oder dezimal gemeint ist.
Im Binärsystem verdoppelt sich der Stellenwert mit jedem Schritt nach links.
Wie wird eine Binärzahl zur Dezimalzahl?
Beginne rechts mit dem Stellenwert $2^0=1$. Nach links folgen $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$ und $2^5=32$.
Steht an einer Stelle eine 1, zählt ihr Stellenwert mit. Bei einer 0 wird der Stellenwert nicht addiert.
Wandle $1101_2$ in eine Dezimalzahl um.
Die Einsen stehen bei 8, 4 und 1:
$$1101_2=2^3+2^2+2^0=8+4+1=13_{10}$$
Damit gilt: $1101_2=13_{10}$.
Eine Null in der Mitte darfst du nicht überspringen: Sie hält den Platz ihres Stellenwerts frei. Nur führende Nullen ändern den Wert nicht.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Von rechts beginnt die Nummerierung der Stellen mit dem Exponenten . Jeder Schritt nach links den Stellenwert. Die Binärzahl $10101_2$ hat den Dezimalwert .
Wie wird eine Dezimalzahl zur Binärzahl?
Zerlege die Dezimalzahl in verschiedene Zweierpotenzen. Beginne mit der größten Zweierpotenz, die nicht größer als die Zahl ist.
Wandle $21_{10}$ in eine Binärzahl um.
- Die größte passende Zweierpotenz ist 16. Der Rest ist 5.
- In 5 passt 4. Der Rest ist 1.
- Der letzte passende Stellenwert ist 1.
- Belege die Stellen 16, 4 und 1 mit 1. Die Stellen 8 und 2 erhalten 0.
$$21_{10}=16+4+1=10101_2$$
Die Probe ergibt wieder $16+4+1=21$.
Ein zweiter Weg ist die wiederholte Division durch 2. Notiere bei jeder Division den Rest 0 oder 1. Sobald der Quotient 0 ist, liest du die Reste von unten nach oben. Bei 13 entstehen die Reste 1, 0, 1, 1; rückwärts gelesen ergibt das $1101_2$.
Wie addierst du Binärzahlen?
Du addierst von rechts nach links. Dabei gelten diese Grundregeln:
- $0+0=0$
- $1+0=1$
- $0+1=1$
- $1+1=10_2$: Du schreibst 0 und überträgst 1 zur nächsten Stelle.
Berechne $1011_2+1010_2$.
- Rechts ergibt $1+0=1$.
- Danach ergibt $1+1=10_2$: Schreibe 0 und merke den Übertrag 1.
- In der nächsten Stelle ergibt $0+0$ zusammen mit dem Übertrag 1.
- Danach ergibt $1+1=10_2$. Schreibe wieder 0 und setze den letzten Übertrag links davor.
$$1011_2+1010_2=10101_2$$
Die Dezimalprobe passt: $11+10=21$.
Bei $1+1$ ist die 0 das Ergebnisbit der aktuellen Stelle. Die 1 gehört als Übertrag zur nächsten Stelle.
Was haben Bit und Byte mit dem Binärsystem zu tun?
Technische Systeme können zwei unterscheidbare Zustände darstellen. Diese lassen sich als 0 und 1 codieren.
Bit
Ein Bit ist eine binäre Informationseinheit. Es kann genau einen von zwei Zuständen annehmen: 0 oder 1.
Mit jedem zusätzlichen Bit verdoppelt sich die Zahl der möglichen Bitmuster. Mit $n$ Bits sind daher $2^n$ verschiedene Muster möglich.
Ein Byte besteht aus 8 Bits. Damit sind $2^8=256$ verschiedene Bitmuster möglich. Werden sie als nicht negative ganze Zahlen gelesen, reichen ihre Werte von $00000000_2=0_{10}$ bis $11111111_2=255_{10}$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Binärsystem
- Ziffern: 0 und 1
- Stellenwerte: 1, 2, 4, 8, 16 und weiter
- Binär zu Dezimal: Stellenwerte der Einsen addieren
- Dezimal zu Binär: passende Zweierpotenzen auswählen
- Addition: von rechts rechnen und Überträge beachten
- Bit und Byte: zwei Zustände je Bit, acht Bits je Byte
Abschluss-Check
Du beherrschst die Grundidee, wenn du jede 1 mit ihrem Stellenwert verbinden und deine Umrechnung durch den Rückweg prüfen kannst.