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Zahlensysteme: Binär, Dezimal und Hexadezimal
In einem Stellenwertsystem legen die Basis und die erlaubten Ziffern fest, welchen Wert jede Stelle hat. Im Dezimalsystem wachsen die Stellenwerte mit Zehnerpotenzen, im Binärsystem mit Zweierpotenzen und im Hexadezimalsystem mit Sechzehnerpotenzen.
Hier lernst du, diese Systeme zu unterscheiden und nichtnegative ganze Zahlen zwischen ihnen umzurechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie bestimmt eine Stelle den Wert?
Die Schreibweise einer Zahl allein reicht nicht immer aus. Zum Beispiel bedeutet 10 im Dezimalsystem zehn, im Binärsystem aber zwei. Deshalb kennzeichnet ein tiefgestellter Index die Basis: $10_2$ ist eine Binärzahl, $10_{10}$ eine Dezimalzahl.
Stellenwertsystem
In einem Stellenwertsystem hängt der Beitrag einer Ziffer von ihrer Position ab. Von rechts nach links stehen die Stellen für $b^0, b^1, b^2, \ldots$. Dabei ist $b$ die Basis des Systems.
Für eine Zahl $(z_n\ldots z_0)_b$ gilt:
$$(z_n\ldots z_0)_b=z_n\cdot b^n+\ldots+z_1\cdot b^1+z_0\cdot b^0$$
Im Dezimalsystem hat $123_{10}$ die Basis 10:
$$123_{10}=1\cdot10^2+2\cdot10^1+3\cdot10^0=100+20+3$$
Die Ziffer 2 trägt also nicht den Wert 2, sondern an dieser Position den Wert $2\cdot10=20$ bei.
Ziffernwert und Stellenwert gehören zusammen: Erst Ziffer mal Stellenwert ergibt den Beitrag einer Stelle.
Wie rechnest du mit Binärzahlen?
Das Binärsystem, auch Dual- oder Zweiersystem, hat die Basis 2. Es verwendet nur die Ziffern 0 und 1. Seine Stellenwerte sind von rechts nach links $2^0,2^1,2^2,\ldots$, also 1, 2, 4, 8, 16 und so weiter.
Binär nach Dezimal
Multipliziere jede Ziffer mit ihrer Zweierpotenz und addiere die Beiträge.
Für $101110_2$ gilt:
$$101110_2=1\cdot2^5+0\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^1+0\cdot2^0$$
$$=32+0+8+4+2+0=46_{10}$$
Die Nullen sind wichtig: Sie halten die unbesetzten Stellen frei.
Dezimal nach Binär
Teile die Dezimalzahl wiederholt ganzzahlig durch 2. Notiere bei jedem Schritt den Rest 0 oder 1. Sobald der Quotient 0 ist, liest du die Reste von unten nach oben.
So wird $59_{10}$ umgerechnet:
- $59:2=29$ Rest 1
- $29:2=14$ Rest 1
- $14:2=7$ Rest 0
- $7:2=3$ Rest 1
- $3:2=1$ Rest 1
- $1:2=0$ Rest 1
Von unten nach oben ergeben die Reste $111011_2$. Die Kontrolle mit den Stellenwerten liefert $32+16+8+0+2+1=59$.
Wie rechnest du mit Hexadezimalzahlen?
Das Hexadezimalsystem hat die Basis 16. Es braucht 16 Ziffern: 0 bis 9 sowie A, B, C, D, E und F. Dabei stehen A bis F für die Dezimalwerte 10 bis 15.
Seine Stellenwerte sind $16^0,16^1,16^2,\ldots$, also 1, 16, 256, 4096 und so weiter.
Hexadezimal nach Dezimal
Bei $5D6A_{16}$ gilt $D=13$ und $A=10$:
$$5D6A_{16}=5\cdot16^3+13\cdot16^2+6\cdot16^1+10\cdot16^0$$
$$=20480+3328+96+10=23914_{10}$$
Dezimal nach Hexadezimal
Teile wiederholt durch 16, notiere die Reste und lies sie von unten nach oben. Ersetze die Reste 10 bis 15 durch A bis F.
Für $98236_{10}$ entstehen diese Schritte:
- $98236:16=6139$ Rest 12, also C
- $6139:16=383$ Rest 11, also B
- $383:16=23$ Rest 15, also F
- $23:16=1$ Rest 7
- $1:16=0$ Rest 1
Von unten nach oben gelesen ergibt das $17FBC_{16}$. Die Stellenwertkontrolle liefert $98236_{10}$.
Wie hängen Binär und Hexadezimal zusammen?
Weil $16=2^4$ gilt, entspricht eine Hexadezimalziffer genau vier Binärziffern, also vier Bits. Teile eine Binärzahl deshalb von rechts in Vierergruppen. Die linke Gruppe darfst du bei Bedarf mit Nullen auffüllen.
Bei $1000\ 0110_2$ sind die Gruppen bereits vollständig:
- $1000_2=8$
- $0110_2=6$
Daher gilt $1000\ 0110_2=86_{16}$. Umgekehrt wird jede Hexadezimalziffer wieder durch genau vier Bits ersetzt.
BCD
BCD bedeutet Binary Coded Decimal. Dabei wird jede Dezimalziffer einzeln durch vier Bits codiert. BCD ist kein eigenes Zahlensystem.
Zum Beispiel wird $19_{10}$ im BCD-Code zu $0001\ 1001$: Die Dezimalziffer 1 wird als 0001 und die Dezimalziffer 9 als 1001 codiert. Im gewöhnlichen Binärsystem ist $19_{10}$ dagegen $10011_2$.
Auch römische Zahlen sind kein Stellenwertsystem. Bei ihnen werden Zeichenwerte addiert oder in bestimmten Fällen subtrahiert; der Wert entsteht nicht aus Potenzen einer Basis.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zahlendarstellungen
- Stellenwertsysteme: Wert entsteht aus Ziffer und Position
- Dezimalsystem: Basis 10
- Binärsystem: Basis 2
- Hexadezimalsystem: Basis 16
- Binär und Hexadezimal: vier Bits entsprechen einer Hexadezimalziffer
- BCD: ziffernweiser Code, kein Zahlensystem
- Römische Zahlen: kein Stellenwertsystem
Abschluss-Check
Wenn du bei einer Umrechnung unsicher bist, prüfe das Ergebnis durch den Rückweg: Zerlege die neue Darstellung in ihre Stellenwerte und addiere sie.