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Hexadezimalsystem verstehen und Zahlen umrechnen
Das Hexadezimalsystem ist ein Stellenwertsystem zur Basis 16. Es verwendet die Ziffern 0 bis 9 und die Buchstaben A bis F. Du kannst Hexadezimalzahlen verstehen, wenn du jeder Stelle eine Potenz von 16 zuordnest.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum ist FF gleich 255?
Wie kann eine Zahl mit Buchstaben einen eindeutigen Wert haben? A bis F sind zusätzliche Ziffern:
| Hex-Ziffer | Dezimalwert |
|---|---|
| A | 10 |
| B | 11 |
| C | 12 |
| D | 13 |
| E | 14 |
| F | 15 |
Stellenwertsystem
In einem Stellenwertsystem hängt der Wert einer Ziffer von ihrer Position ab. Im Dezimalsystem sind die Stellenwerte 1, 10, 100 und so weiter. Im Hexadezimalsystem sind es 1, 16, 256, 4096 und so weiter.
Von rechts nach links gelten die Stellenwerte:
$$16^0=1,\quad 16^1=16,\quad 16^2=256,\quad 16^3=4096$$
Jede Stelle weiter links ist also 16-mal so viel wert. Der Basisindex zeigt, in welchem Zahlensystem eine Zahl geschrieben ist.
Bei $FF_{16}$ steht das rechte F an der Einerstelle und das linke F an der 16er-Stelle:
$$FF_{16}=15\cdot16+15\cdot1=240+15=255_{10}$$
Bei $1000_{16}$ steht die 1 an der Stelle mit dem Wert $16^3$:
$$1000_{16}=1\cdot4096=4096_{10}$$
$10_{16}$ bedeutet nicht zehn. Nach $F_{16}$ folgt ein Übertrag, deshalb gilt $10_{16}=16_{10}$.
Wie wird Hexadezimal zu Dezimal?
Du wertest die Stellen von rechts nach links aus. Beginne immer mit $16^0=1$.
- Ersetze A bis F durch die Werte 10 bis 15.
- Multipliziere jede Ziffer mit ihrem Stellenwert.
- Addiere alle Produkte.
Wandle $A9C_{16}$ um:
$$A9C_{16}=10\cdot16^2+9\cdot16^1+12\cdot16^0$$
$$=10\cdot256+9\cdot16+12\cdot1$$
$$=2560+144+12=2716_{10}$$
Die Probe ist plausibel: Eine dreistellige Hexadezimalzahl mit A an der 256er-Stelle muss deutlich größer als $10\cdot256=2560$ sein.
Wie wird Dezimal zu Hexadezimal?
Für die Gegenrichtung teilst du wiederholt mit Rest durch 16. Jeder Rest liefert eine Hex-Ziffer.
- Teile die Dezimalzahl ganzzahlig durch 16.
- Notiere Quotient und Rest.
- Teile den Quotienten erneut durch 16.
- Höre auf, sobald der Quotient 0 ist.
- Lies die Reste von unten nach oben.
Wandle $412_{10}$ um:
| Division | Quotient | Rest |
|---|---|---|
| $412:16$ | 25 | 12 = C |
| $25:16$ | 1 | 9 |
| $1:16$ | 0 | 1 |
Von unten nach oben gelesen ergeben die Reste $19C_{16}$.
Die Rückrechnung bestätigt das Ergebnis:
$$1\cdot256+9\cdot16+12=256+144+12=412$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Umwandeln von 412 ist der erste Rest . Die Reste werden von gelesen. Das Ergebnis lautet deshalb .
Warum passen Hexadezimal- und Binärzahlen zusammen?
Computer stellen Daten mit Bits dar. Weil $16=2^4$ gilt, entspricht jede Hex-Ziffer genau einer Gruppe aus vier Bits. Eine solche Vierergruppe heißt Nibble; zwei Hex-Ziffern entsprechen acht Bits, also einem Byte.
| Binär | Hex | Binär | Hex |
|---|---|---|---|
| 0000 | 0 | 1000 | 8 |
| 0001 | 1 | 1001 | 9 |
| 0010 | 2 | 1010 | A |
| 0011 | 3 | 1011 | B |
| 0100 | 4 | 1100 | C |
| 0101 | 5 | 1101 | D |
| 0110 | 6 | 1110 | E |
| 0111 | 7 | 1111 | F |
Teile die Binärzahl von rechts in Vierergruppen:
$$0101\ 1011\ 1101\ 1000_2$$
Die Gruppen stehen für 5, B, D und 8. Daher gilt:
$$0101\ 1011\ 1101\ 1000_2=5BD8_{16}$$
Binär und Hexadezimal lassen sich gruppenweise umwandeln: vier Bits entsprechen genau einer Hex-Ziffer.
Vertiefung: Wie addiert man direkt in Hex?
Du addierst spaltenweise wie im Dezimalsystem. Der Unterschied: Ein Übertrag entsteht bereits bei 16 statt bei 10.
Für eine Spaltensumme $v$ bestimmst du:
$$v=q\cdot16+r$$
Du schreibst den Rest $r$ in die Spalte und überträgst $q$ nach links. Die Werte 10 bis 15 schreibst du als A bis F.
Addiere $2F_{16}+14_{16}$:
- Einerstelle: $F+4=15+4=19=1\cdot16+3$. Schreibe 3 und übertrage 1.
- 16er-Stelle: $2+1+1=4$. Der mittlere Summand stammt aus der Zahl $14_{16}$, der letzte ist der Übertrag.
Damit gilt:
$$2F_{16}+14_{16}=43_{16}$$
Zur Kontrolle: $2F_{16}=47_{10}$, $14_{16}=20_{10}$ und $43_{16}=67_{10}$.
Die Rechenidee ist dieselbe wie im Dezimalsystem: Sobald eine Spalte die Basis erreicht, bleibt ein Rest stehen und der vollständige Basisblock wird übertragen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Hexadezimalsystem
- Basis 16 mit den Ziffern 0 bis F
- Stellenwerte 1, 16, 256, 4096
- Hex nach Dezimal durch Auswerten der Stellen
- Dezimal nach Hex durch Division mit Rest
- vier Bits entsprechen einer Hex-Ziffer
- Übertrag beim Erreichen von 16
Abschluss-Check
Du hast das System verstanden, wenn du nicht nur eine Umrechnung ausführen, sondern auch erklären kannst, warum jede Stelle nach links den 16-fachen Wert besitzt.