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Newton-Verfahren: Nullstellen näherungsweise finden
Mit dem Newton-Verfahren näherst du eine Nullstelle von $f$ schrittweise an. Du startest bei $x_0$, legst am Graphen eine Tangente an und verwendest deren Nullstelle als nächsten Näherungswert:
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
Das Verfahren kann sehr schnell sein. Es braucht aber einen geeigneten Startwert und darf nicht an einer Stelle mit $f'(x_n)=0$ angewendet werden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie entsteht der nächste Näherungswert?
Angenommen, dein aktueller Näherungswert ist $x_n$. Auf dem Graphen gehört dazu der Punkt $(x_n,f(x_n))$. Die Tangente in diesem Punkt hat die Gleichung
$$t(x)=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n).$$
In der Nähe von $x_n$ ersetzt diese Gerade den gekrümmten Graphen näherungsweise. Ihre Nullstelle soll der nächste Wert $x_{n+1}$ sein. Deshalb setzt du $t(x_{n+1})=0$:
$$0=f(x_n)+f'(x_n)(x_{n+1}-x_n).$$
Nun löst du nach $x_{n+1}$ auf:
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$$
Iteration
Bei einer Iteration wird das Ergebnis eines Rechenschritts wieder als Eingabe für den nächsten Schritt verwendet. Aus $x_0$ entstehen so $x_1,x_2,x_3,\ldots$
Newton ersetzt den Graphen am aktuellen Punkt durch seine Tangente. Die Nullstelle dieser Tangente ist der nächste Näherungswert.
Wie führe ich das Verfahren durch?
Gehe in dieser Reihenfolge vor:
- Bestimme die Funktion $f$ und ihre Ableitung $f'$.
- Wähle einen Startwert $x_0$ in der Nähe der gesuchten Nullstelle.
- Prüfe vor jedem Schritt, dass $f'(x_n)\ne0$ ist.
- Berechne $x_{n+1}$ mit der Newtonformel.
- Verwende den neuen Wert für den nächsten Schritt.
- Prüfe am Ende die Schrittweite und den Funktionswert.
Gesucht ist die positive Nullstelle von
$$f(x)=x^2-2.$$
Sie entspricht $\sqrt 2$. Die Ableitung lautet
$$f'(x)=2x.$$
Da die positive Nullstelle zwischen $1$ und $2$ liegt, wählen wir $x_0=1$.
Erster Schritt:
$$x_1=1-\frac{1^2-2}{2\cdot1}=\frac32=1{,}5.$$
Zweiter Schritt:
$$x_2=\frac32-\frac{(\frac32)^2-2}{2\cdot\frac32}=\frac{17}{12}\approx1{,}4166667.$$
Dritter Schritt:
$$x_3=\frac{17}{12}-\frac{(\frac{17}{12})^2-2}{2\cdot\frac{17}{12}}=\frac{577}{408}\approx1{,}4142157.$$
Zur Kontrolle setzen wir $x_3$ in $f$ ein:
$$f\left(\frac{577}{408}\right)=\frac{1}{166464}\approx0{,}0000060.$$
Der Funktionswert liegt bereits sehr nahe bei null. Daher ist
$$\sqrt2\approx1{,}4142.$$
Wie wähle und prüfe ich den Startwert?
Ein guter Startwert liegt möglichst nahe bei der gesuchten Nullstelle. Kennst du ein Intervall $[a;b]$, in dem eine stetige Funktion das Vorzeichen wechselt, liegt darin mindestens eine Nullstelle. Die Intervallmitte kann dann ein brauchbarer Startwert sein.
Ein Vorzeichenwechsel hilft bei der Suche, garantiert aber nicht, dass Newton von jedem Wert des Intervalls aus zur gewünschten Nullstelle läuft. Bei mehreren Nullstellen kann die Iteration auch eine andere erreichen.
Prüfe außerdem die Steigung:
- Bei $f'(x_n)=0$ ist der Newtonschritt nicht definiert.
- Bei sehr kleinem $|f'(x_n)|$ kann der Quotient sehr groß werden. Der nächste Wert springt dann möglicherweise weit weg.
- In beiden Fällen ist ein anderer Startwert sinnvoll. Eine Dämpfung kann große Schritte zusätzlich verkleinern.
Beim gedämpften Verfahren gilt
$$x_{n+1}=x_n-\omega\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},\qquad 0<\omega\le1.$$
Für $\omega<1$ wird nur ein Teil des gewöhnlichen Newtonschritts ausgeführt.
Wann darf ich die Rechnung beenden?
Ein einzelnes Abbruchsignal kann täuschen. Eine kleine Schrittweite bedeutet nicht automatisch, dass $f(x_n)$ nahe null liegt. Prüfe deshalb mindestens zwei Größen:
- Schrittweite: $|x_{n+1}-x_n|$ ist kleiner als eine gewählte Toleranz.
- Restwert: $|f(x_{n+1})|$ ist ebenfalls klein.
Setze zusätzlich eine Höchstzahl von Schritten fest. So endet die Rechnung auch dann, wenn die Folge nicht konvergiert.
Wenn du nur eine bestimmte Zahl von Nachkommastellen brauchst, kannst du beobachten, ob diese stabil bleiben. Die Probe mit $f(x_n)$ solltest du trotzdem durchführen.
Beende nicht allein deshalb, weil zwei Näherungswerte ähnlich aussehen. Prüfe auch, ob der Funktionswert tatsächlich nahe null liegt.
Warum kann Newton scheitern oder langsam werden?
Das Newton-Verfahren ist lokal konvergent: Seine schnelle Annäherung ist vor allem dann zu erwarten, wenn der Startwert ausreichend nahe bei einer geeigneten Nullstelle liegt.
Bei einem ungünstigen Startwert kann die Folge
- gegen eine andere Nullstelle laufen,
- zwischen Werten hin- und herspringen,
- oder sich immer weiter entfernen.
Ein konkreter Zweierzyklus entsteht bei
$$f(x)=x^3-2x+2$$
mit $x_0=0$. Dann gilt
$$x_1=0-\frac{2}{-2}=1$$
und anschließend
$$x_2=1-\frac{1}{1}=0.$$
Die Werte wechseln also dauerhaft zwischen $0$ und $1$. Keiner der beiden Werte ist eine Nullstelle.
Vertiefung: mehrfache Nullstellen
Bei einer einfachen Nullstelle kann Newton in der Nähe sehr schnell konvergieren. Bei einer $k$-fachen Nullstelle wird das gewöhnliche Verfahren dagegen meist deutlich langsamer.
Ein Beispiel ist
$$f(x)=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2).$$
Die Nullstelle $x=1$ ist doppelt. Ist die Vielfachheit $k$ bekannt, kann die angepasste Formel
$$x_{n+1}=x_n-k\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
die schnelle Annäherung wiederherstellen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Newton-Verfahren
- Grundidee
- Graph durch Tangente annähern
- Tangentennullstelle als neuen Wert nutzen
- Rechenweg
- Funktion und Ableitung bestimmen
- Startwert wählen
- Newtonformel wiederholt anwenden
- Kontrolle
- Schrittweite prüfen
- Restwert prüfen
- Iterationsgrenze beachten
- Risiken
- Ableitung null oder sehr klein
- ungeeigneter Startwert
- Oszillation oder falsche Nullstelle
- langsame Annäherung bei mehrfachen Nullstellen
- Grundidee
Abschluss-Check
Du kannst das Verfahren sicher anwenden, wenn du nicht nur die Formel einsetzt, sondern auch Startwert, Ableitung und Ergebnis kontrollierst.