Mit Google fortfahren
Pyramidenstumpf: Volumen und Oberfläche berechnen
Ein Pyramidenstumpf entsteht, wenn du eine Pyramide parallel zu ihrer Grundfläche abschneidest. Sein Volumen hängt von Grundfläche, Deckfläche und senkrechter Höhe ab. Seine Oberfläche setzt sich aus Grundfläche, Deckfläche und Mantel zusammen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So entsteht ein Pyramidenstumpf
Stell dir eine Pyramide vor. Eine Ebene schneidet sie parallel zur Grundfläche. Die Spitze wird entfernt; der verbleibende Körper ist der Pyramidenstumpf. Die entfernte Spitze bildet eine kleinere, zur ursprünglichen Pyramide ähnliche Ergänzungspyramide.
Pyramidenstumpf
Ein Pyramidenstumpf ist der Teil einer Pyramide zwischen ihrer Grundfläche und einem dazu parallelen Schnitt. Grund- und Deckfläche sind deshalb parallel und ähnlich: Sie haben dieselbe Form, können aber verschieden groß sein.
Der Körper besitzt:
- die größere oder untere Grundfläche mit dem Flächeninhalt $A_1$,
- die kleinere oder obere Deckfläche mit dem Flächeninhalt $A_2$,
- den Mantel aus trapezförmigen Seitenflächen,
- die Raumhöhe $h$ als senkrechten Abstand zwischen Grund- und Deckfläche.
Grund- und Deckfläche müssen nicht quadratisch sein. Sie können zum Beispiel ähnliche Dreiecke, Vierecke oder Fünfecke sein.
Das Volumen im allgemeinen Fall
Für einen Pyramidenstumpf mit den Flächeninhalten $A_1$ und $A_2$ sowie der Raumhöhe $h$ gilt:
$$V=\frac{1}{3}h\left(A_1+\sqrt{A_1A_2}+A_2\right)$$
Der mittlere Ausdruck $\sqrt{A_1A_2}$ verbindet beide Flächen. Addiere also nicht einfach nur $A_1$ und $A_2$.
Warum passt die Formel? Das Volumen des Stumpfs ist das Volumen der ganzen Pyramide minus das Volumen der abgeschnittenen Ergänzungspyramide. Wegen der Ähnlichkeit verhalten sich die zugehörigen Höhen wie $\sqrt{A_1}:\sqrt{A_2}$. Aus dieser Beziehung und der Volumendifferenz entsteht die Formel.
Gegeben sind $A_1=100\,\mathrm{cm^2}$, $A_2=25\,\mathrm{cm^2}$ und $h=12\,\mathrm{cm}$.
Zuerst bestimmst du den verbindenden Term:
$$\sqrt{A_1A_2}=\sqrt{100\,\mathrm{cm^2}\cdot25\,\mathrm{cm^2}}=50\,\mathrm{cm^2}$$
Dann setzt du ein:
$$V=\frac{1}{3}\cdot12\,\mathrm{cm}\cdot(100+50+25)\,\mathrm{cm^2}=700\,\mathrm{cm^3}$$
Der Pyramidenstumpf hat ein Volumen von $700\,\mathrm{cm^3}$. Die Einheit ist kubisch, weil ein Volumen berechnet wurde.
Der quadratische Sonderfall
Bei einem geraden quadratischen Pyramidenstumpf sind Grund- und Deckfläche Quadrate. Ihre Seitenlängen heißen $a$ und $b$. Deshalb gilt $A_1=a^2$ und $A_2=b^2$.
Da Seitenlängen positiv sind, wird
$$\sqrt{A_1A_2}=\sqrt{a^2b^2}=ab.$$
Damit vereinfacht sich die allgemeine Formel zu
$$V=\frac{h}{3}(a^2+ab+b^2).$$
Für $a=6\,\mathrm{cm}$, $b=4\,\mathrm{cm}$ und $h=5\,\mathrm{cm}$ rechnest du:
$$V=\frac{5}{3}(6^2+6\cdot4+4^2)\,\mathrm{cm^3}$$
$$V=\frac{5}{3}(36+24+16)\,\mathrm{cm^3}=\frac{380}{3}\,\mathrm{cm^3}\approx126{,}7\,\mathrm{cm^3}.$$
Der Pyramidenstumpf fasst also ungefähr $126{,}7\,\mathrm{cm^3}$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim quadratischen Pyramidenstumpf gilt $A_1=$ und $A_2=$. Deshalb wird $\sqrt{A_1A_2}$ zu $$.
Oberfläche und Höhen richtig zuordnen
Die gesamte Oberfläche ist immer
$$O=A_1+A_2+M,$$
wobei $M$ den Flächeninhalt des Mantels bezeichnet. Für den geraden quadratischen Pyramidenstumpf besteht der Mantel aus vier gleichen Trapezen. Mit der Trapez- oder Mantelhöhe $h_m$ gilt:
$$M=4\cdot\frac{1}{2}(a+b)h_m=2(a+b)h_m.$$
Damit erhältst du
$$O=a^2+b^2+2(a+b)h_m.$$
Die Raumhöhe $h$ steht senkrecht zwischen Grund- und Deckfläche. Die Mantelhöhe $h_m$ liegt schräg in einer Seitenfläche. Für die Volumenformel brauchst du $h$, für die Mantelfläche $h_m$.
Beim geraden quadratischen Pyramidenstumpf kannst du die Mantelhöhe mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:
$$h_m=\sqrt{h^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2}.$$
Gegeben sind $a=10\,\mathrm{cm}$, $b=5\,\mathrm{cm}$ und $h_m=7\,\mathrm{cm}$. Für die Oberfläche brauchst du hier keine Raumhöhe:
$$O=10^2+5^2+2(10+5)\cdot7\,\mathrm{cm^2}$$
$$O=100+25+210\,\mathrm{cm^2}=335\,\mathrm{cm^2}.$$
Die Oberfläche beträgt $335\,\mathrm{cm^2}$.
Rechnen und typische Fehler vermeiden
Aufgabe
Ein gerader quadratischer Pyramidenstumpf hat $a=8\,\mathrm{cm}$, $b=4\,\mathrm{cm}$ und $h=6\,\mathrm{cm}$.
- Berechne das Volumen.
- Bestimme die Mantelhöhe und anschließend die Oberfläche. Gib exakte Ergebnisse an.
Lösung
Für das Volumen verwendest du die Raumhöhe:
$$V=\frac{6}{3}(8^2+8\cdot4+4^2)\,\mathrm{cm^3}=224\,\mathrm{cm^3}.$$
Für die Oberfläche bestimmst du zuerst die Mantelhöhe:
$$h_m=\sqrt{6^2+\left(\frac{8-4}{2}\right)^2}\,\mathrm{cm}=\sqrt{40}\,\mathrm{cm}=2\sqrt{10}\,\mathrm{cm}.$$
Nun setzt du $h_m$ in die Oberflächenformel ein:
$$O=8^2+4^2+2(8+4)\cdot2\sqrt{10}\,\mathrm{cm^2}$$
$$O=(80+48\sqrt{10})\,\mathrm{cm^2}.$$
Drei häufige Fehler
- $h$ und $h_m$ vertauschen: Prüfe, ob du Volumen oder Mantelfläche berechnest.
- Deckfläche vergessen: Zur Oberfläche gehören Grundfläche, Deckfläche und Mantel.
- Einheiten verwechseln: Flächen stehen in Quadrateinheiten, Volumen in Kubikeinheiten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Pyramidenstumpf
- Entstehung: paralleler Schnitt durch eine Pyramide
- Flächen: ähnliche Grund- und Deckfläche
- Mantel: trapezförmige Seitenflächen
- Volumen: Raumhöhe $h$ verwenden
- Oberfläche: Grundfläche plus Deckfläche plus Mantel
- Quadratischer Fall: Seitenlängen $a$ und $b$