Mit Google fortfahren
Oberfläche einer Pyramide berechnen
Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide besteht aus der quadratischen Grundfläche und den vier dreieckigen Seitenflächen. Du berechnest beide Teile getrennt und addierst sie.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Flächen gehören zur Pyramide?
Auf dieser Seite geht es um eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche und vier kongruenten Manteldreiecken. Kongruent bedeutet: Die vier Dreiecke sind gleich groß und gleich geformt.
Grundfläche
Die Grundfläche ist das Quadrat, auf dem die Pyramide steht. Seine Seitenlänge heißt $a$.
Mantelfläche
Die Mantelfläche besteht aus den vier dreieckigen Seitenflächen. Zusammen bilden sie den Mantel der Pyramide.
Für die Dreiecke brauchst du die Dreieckshöhe $h_D$. Sie verläuft innerhalb eines Manteldreiecks senkrecht zu dessen Grundseite $a$.
Verwechsle die Dreieckshöhe $h_D$ nicht mit der senkrechten Höhe der Pyramide. Für die Oberfläche verwendest du hier $h_D$.
Wie berechnest du Grundfläche und Mantel?
Die quadratische Grundfläche hat den Flächeninhalt
$$G=a^2.$$
Ein Manteldreieck hat die Grundseite $a$ und die Höhe $h_D$. Daher gilt
$$A_D=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_D.$$
Weil der Mantel aus vier gleich großen Dreiecken besteht, rechnest du
$$M=4\cdot A_D=4\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_D\right).$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die Grundfläche ist ein . Der Mantel besteht aus gleich großen Dreiecken. Für ein Manteldreieck verwendest du die Seitenlänge $a$ und die $h_D$.
Wie entsteht die Oberfläche?
Die gesamte Oberfläche $O$ ist die Summe aus Grundfläche $G$ und Mantelfläche $M$:
$$O=G+M.$$
Für die hier behandelte quadratische Pyramide folgt daraus
$$O=a^2+4\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_D\right).$$
Gegeben sind $a=1\,\mathrm{cm}$ und $h_D=5\,\mathrm{cm}$.
1. Grundfläche berechnen
$$G=(1\,\mathrm{cm})^2=1\,\mathrm{cm}^2$$
2. Ein Manteldreieck berechnen
$$A_D=\frac{1}{2}\cdot1\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=2{,}5\,\mathrm{cm}^2$$
3. Vier Manteldreiecke zusammenfassen
$$M=4\cdot2{,}5\,\mathrm{cm}^2=10\,\mathrm{cm}^2$$
4. Grundfläche und Mantel addieren
$$O=1\,\mathrm{cm}^2+10\,\mathrm{cm}^2=11\,\mathrm{cm}^2$$
Die Pyramide hat eine Oberfläche von $11\,\mathrm{cm}^2$.
Kannst du das Verfahren anwenden?
Berechne die Mantelfläche einer quadratischen Pyramide mit $a=3\,\mathrm{cm}$ und $h_D=8\,\mathrm{cm}$.
Prüfe vor jeder Rechnung die Situation: Sind alle Flächen vorhanden, rechnest du $O=G+M$. Fehlt die Grundfläche, brauchst du nur $M$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Oberfläche der quadratischen Pyramide
- Grundfläche: $G=a^2$
- Manteldreieck: $A_D=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_D$
- Mantelfläche: $M=4\cdot A_D$
- Gesamtfläche: $O=G+M$
- Prüfen: Grundfläche vorhanden oder offen?
Abschluss-Check
Du bist fertig, wenn du die benötigten Flächen erkennen, getrennt berechnen und passend zur Situation zusammensetzen kannst.