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Pyramide: Volumen, Oberfläche und Höhe berechnen
Eine Pyramide hat eine vieleckige Grundfläche und dreieckige Seitenflächen, die sich in einer Spitze treffen. Für ihr Volumen brauchst du den Grundflächeninhalt $G$ und die senkrechte Körperhöhe $h$. Für die Oberfläche berechnest du zusätzlich den Mantel aus den Seitendreiecken.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So ist eine Pyramide aufgebaut
Die Grundfläche ist ein Vieleck, zum Beispiel ein Dreieck, Rechteck oder Quadrat. Von jeder Ecke der Grundfläche führt eine Seitenkante zur gemeinsamen Spitze $S$. Die dreieckigen Seitenflächen bilden zusammen den Mantel.
Körperhöhe
Die Körperhöhe $h$ ist der senkrechte Abstand zwischen der Spitze und der Ebene der Grundfläche. Eine schräge Seitenkante ist keine Körperhöhe.
Bei einer geraden quadratischen Pyramide liegt die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt des Quadrats. Dabei musst du drei verschiedene Längen auseinanderhalten:
- $h$: Körperhöhe im Inneren der Pyramide
- $h_s$: Höhe eines Seitendreiecks
- $s$: Seitenkante von einer Grundecke zur Spitze
Die Grundfläche bestimmt den Namen: Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche heißt quadratische Pyramide. Die Anzahl der Seitendreiecke entspricht der Anzahl der Seiten der Grundfläche.
So berechnest du das Volumen
Für jede Pyramide gilt:
$$V=\frac{1}{3}Gh$$
Dabei ist $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche und $h$ die senkrechte Körperhöhe. Das Ergebnis erhält eine kubische Einheit wie $\text{cm}^3$.
Der Faktor $\frac{1}{3}$ bedeutet: Eine Pyramide besitzt bei gleicher Grundfläche und gleicher Höhe ein Drittel des Volumens eines entsprechenden Prismas oder Quaders.
Beispiel mit quadratischer Grundfläche
Gegeben sind $a=4\,\text{cm}$ und $h=8\,\text{cm}$.
Zuerst berechnest du die quadratische Grundfläche:
$$G=a^2=(4\,\text{cm})^2=16\,\text{cm}^2$$
Dann setzt du $G$ und die Körperhöhe ein:
$$V=\frac{1}{3}\cdot16\,\text{cm}^2\cdot8\,\text{cm}=\frac{128}{3}\,\text{cm}^3$$
Also gilt:
$$V\approx42{,}7\,\text{cm}^3$$
Die Einheit passt: Fläche mal Länge ergibt ein Volumen.
So setzt sich die Oberfläche zusammen
Die gesamte Oberfläche besteht aus Grundfläche und Mantelfläche:
$$O=G+M$$
Bei einer geraden quadratischen Pyramide besteht der Mantel aus vier gleich großen Dreiecken. Mit Grundkante $a$ und Seitenflächenhöhe $h_s$ gilt für ein Seitendreieck:
$$A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}ah_s$$
Damit erhältst du:
$$M=4\cdot\frac{1}{2}ah_s=2ah_s$$
$$O=a^2+2ah_s$$
Für $a=3\,\text{cm}$ und $h_s=8\,\text{cm}$ gilt:
$$G=3^2=9\,\text{cm}^2$$
$$M=2\cdot3\cdot8=48\,\text{cm}^2$$
$$O=9+48=57\,\text{cm}^2$$
Die Oberfläche beträgt $57\,\text{cm}^2$.
Verwechsle $h_s$ nicht mit der Körperhöhe $h$: Für den Flächeninhalt eines Seitendreiecks brauchst du die Seitenflächenhöhe $h_s$.
So findest du fehlende Längen
Bei einer geraden quadratischen Pyramide bilden die Körperhöhe $h$, die halbe Grundkante $\frac{a}{2}$ und die Seitenflächenhöhe $h_s$ ein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb gilt:
$$h_s^2=h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$$
In einem Seitendreieck bilden $h_s$, die halbe Grundkante und die Seitenkante $s$ ein weiteres rechtwinkliges Dreieck:
$$s^2=h_s^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$$
Zusammen folgt auch:
$$s^2=h^2+\frac{a^2}{2}$$
Gegeben sind $h=8\,\text{cm}$ und $a=6\,\text{cm}$. Gesucht ist $h_s$.
Die halbe Grundkante beträgt $3\,\text{cm}$. Daher:
$$h_s^2=8^2+3^2=64+9=73\,\text{cm}^2$$
$$h_s=\sqrt{73}\,\text{cm}\approx8{,}54\,\text{cm}$$
Die Seitenflächenhöhe ist länger als die Körperhöhe. Das ist plausibel, weil sie schräg verläuft.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Pyramide
- Aufbau: Grundfläche, Seitendreiecke, Spitze
- Körperhöhe: senkrechter Abstand zur Grundfläche
- Volumen: ein Drittel von Grundfläche mal Körperhöhe
- Oberfläche: Grundfläche plus Mantel
- Quadratische Pyramide: vier Seitendreiecke
- Fehlende Längen: rechtwinklige Dreiecke und Pythagoras
Abschluss-Check
Prüfe bei jeder Rechnung zum Schluss: Hast du die passende Höhe verwendet, den Faktor $\frac{1}{3}$ beim Volumen berücksichtigt und die richtige Einheit angegeben?