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Kegel berechnen: Oberfläche und Volumen
Ein gerader Kreiskegel hat eine kreisförmige Grundfläche und eine Spitze senkrecht über deren Mittelpunkt. Für seine Berechnung brauchst du vor allem Radius, Höhe und Mantellinie. Auf dieser Seite lernst du, diese Größen zu unterscheiden und Oberfläche sowie Volumen zu berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Geraden Kreiskegel erkennen
Denk an eine Eistüte ohne Eis: Unten liegt ein Kreis, die Seitenfläche läuft in einer Spitze zusammen. Beim geraden Kreiskegel liegt die Spitze genau senkrecht über dem Mittelpunkt des Grundkreises.
Gerader Kreiskegel
Ein gerader Kreiskegel ist ein räumlicher Körper mit einer kreisförmigen Grundfläche. Seine Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Dreht man ein rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten, entsteht ebenfalls ein gerader Kreiskegel.
Der gekrümmte Teil der Oberfläche heißt Mantelfläche. Schneidet man ihn auf und breitet ihn aus, entsteht ein Kreisausschnitt. Ein schiefer Kegel unterscheidet sich davon: Seine Spitze liegt nicht senkrecht über dem Mittelpunkt. Die Formeln dieser Seite für Mantellinie und Oberfläche beziehen sich auf den geraden Kreiskegel.
Größen richtig zuordnen
Vier Längen und Flächen tauchen besonders oft auf:
- Der Radius $r$ führt vom Mittelpunkt zum Rand des Grundkreises.
- Die Höhe $h$ führt senkrecht von der Spitze zur Grundfläche.
- Die Mantellinie $s$ verläuft außen von der Spitze zum Rand des Grundkreises.
- Die Grundfläche $G$ ist der Kreis am Boden.
In einem Schnitt durch Spitze und Mittelpunkt bilden $r$, $h$ und $s$ ein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb gilt:
$$r^2+h^2=s^2$$
Ist $s$ gesucht, rechnest du:
$$s=\sqrt{r^2+h^2}$$
Gegeben sind $r=3\,\mathrm{cm}$ und $h=4\,\mathrm{cm}$. Radius und Höhe stehen senkrecht aufeinander. Daher darfst du den Satz des Pythagoras verwenden:
$$s=\sqrt{(3\,\mathrm{cm})^2+(4\,\mathrm{cm})^2}$$
$$s=\sqrt{25\,\mathrm{cm^2}}=5\,\mathrm{cm}$$
Die Mantellinie ist $5\,\mathrm{cm}$ lang. Die negative Lösung der Gleichung $s^2=25$ entfällt, weil eine Länge nicht negativ sein kann.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die Strecke vom Mittelpunkt zum Rand des Grundkreises heißt . Die senkrechte Strecke von der Spitze zur Grundfläche heißt . Außen von der Spitze zum Rand verläuft die .
Oberfläche berechnen
Die gesamte Oberfläche $O$ besteht aus der Grundfläche $G$ und der Mantelfläche $M$:
$$O=G+M$$
Für den Grundkreis gilt:
$$G=\pi r^2$$
Die abgewickelte Mantelfläche ist ein Kreisausschnitt mit Radius $s$. Sein gebogener Rand ist genauso lang wie der Umfang des Grundkreises. Daraus folgt:
$$M=\pi r s$$
Damit erhältst du:
$$O=\pi r^2+\pi r s$$
Für die Oberfläche brauchst du die Mantellinie $s$. Ist nur die Höhe $h$ gegeben, berechnest du zuerst $s$ mit dem Satz des Pythagoras.
Für $r=3\,\mathrm{cm}$ und $s=5\,\mathrm{cm}$ gilt:
$$G=\pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2=9\pi\,\mathrm{cm^2}\approx28{,}27\,\mathrm{cm^2}$$
$$M=\pi\cdot3\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=15\pi\,\mathrm{cm^2}\approx47{,}12\,\mathrm{cm^2}$$
$$O=G+M=24\pi\,\mathrm{cm^2}\approx75{,}40\,\mathrm{cm^2}$$
Das Ergebnis hat die Einheit $\mathrm{cm^2}$, weil eine Fläche berechnet wurde.
Volumen berechnen
Das Volumen beschreibt, wie viel Raum der Kegel einnimmt. Ein Kegel hat ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit derselben Grundfläche und derselben Höhe:
$$V=\frac{1}{3}Gh$$
Mit $G=\pi r^2$ folgt:
$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$$
Für $r=3\,\mathrm{cm}$ und $h=4\,\mathrm{cm}$ rechnest du:
$$V=\frac{1}{3}\pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2\cdot4\,\mathrm{cm}$$
$$V=12\pi\,\mathrm{cm^3}\approx37{,}70\,\mathrm{cm^3}$$
Das Ergebnis hat die Einheit $\mathrm{cm^3}$, weil ein Volumen berechnet wurde.
Rechnen im Zusammenhang
Bevor du Zahlen einsetzt, klärst du zuerst, was gesucht ist. So vermeidest du, Oberfläche und Volumen zu verwechseln.
- Notiere die gegebenen Größen mit Einheiten.
- Entscheide: Gesucht ist eine Länge, eine Fläche oder ein Volumen.
- Berechne fehlende Größen, zum Beispiel $s$ mit Pythagoras.
- Setze in die passende Formel ein.
- Runde erst am Ende und prüfe Einheit sowie Plausibilität.
Eine kegelförmige Eistüte wird innen als gerader Kreiskegel mit $r=3\,\mathrm{cm}$ und $h=12\,\mathrm{cm}$ modelliert. Gesucht ist ihr Fassungsvermögen, also ein Volumen:
$$V=\frac13\pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2\cdot12\,\mathrm{cm}$$
$$V=36\pi\,\mathrm{cm^3}\approx113{,}10\,\mathrm{cm^3}$$
Das Modell fasst ungefähr $113{,}10\,\mathrm{cm^3}$. Die Mantellinie wäre für diese Frage nicht nötig.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Gerader Kreiskegel
- Aufbau: Grundkreis, Spitze, Radius $r$, Höhe $h$, Mantellinie $s$
- Längenbeziehung: $r^2+h^2=s^2$
- Oberfläche: Grundfläche $G$ plus Mantelfläche $M$
- Volumen: ein Drittel von Grundfläche mal Höhe
- Kontrolle: passende Formel, Einheit und Plausibilität prüfen