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Kegelvolumen berechnen: Formel und Beispiele
Das Volumen eines geraden Kreiskegels berechnest du mit einem Drittel aus Grundfläche mal senkrechter Höhe:
$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$$
Dabei sind $r$ der Radius der kreisförmigen Grundfläche und $h$ die senkrechte Höhe. Auf dieser Seite lernst du, die Formel zu verstehen, Angaben richtig einzusetzen und Ergebnisse zu prüfen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Größen richtig erkennen
Der hier behandelte gerade Kreiskegel besitzt eine kreisförmige Grundfläche. Seine Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt dieses Kreises.
Radius und Höhe
Der Radius $r$ reicht vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zu ihrem Rand. Die Höhe $h$ verläuft senkrecht von der Grundfläche zur Spitze.
Die schräge Strecke von der Spitze zum Kreisrand heißt Seitenhöhe oder Mantellinie $s$. Für die Volumenformel brauchst du sie nicht.
Verwechsle die senkrechte Höhe $h$ nicht mit der schrägen Seitenhöhe $s$. In $V=\frac{1}{3}\pi r^2h$ steht ausschließlich $h$.
Die Volumenformel verstehen
Die Grundfläche des Kegels ist ein Kreis. Deshalb gilt:
$$G=\pi r^2$$
Ein Zylinder mit derselben Grundfläche und derselben Höhe hat das Volumen $G\cdot h$. Drei entsprechende Kegelvolumina ergeben dieses Zylindervolumen. Daher wird durch drei geteilt:
$$V=\frac{1}{3}G\cdot h=\frac{1}{3}\pi r^2h$$
Kegelvolumen = ein Drittel · Kreisfläche · senkrechte Höhe.
In vier Schritten das Volumen berechnen
Gegeben sei ein Kegel mit $r=5\,\mathrm{cm}$ und $h=10\,\mathrm{cm}$.
1. Formel aufschreiben
$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$$
2. Werte mit Einheiten einsetzen
$$V=\frac{1}{3}\pi\left(5\,\mathrm{cm}\right)^2\cdot10\,\mathrm{cm}$$
3. Radius quadrieren und rechnen
$$V=\frac{1}{3}\pi\cdot25\,\mathrm{cm}^2\cdot10\,\mathrm{cm}$$
$$V=\frac{250}{3}\pi\,\mathrm{cm}^3\approx261{,}8\,\mathrm{cm}^3$$
4. Ergebnis prüfen
Aus $\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{cm}$ entsteht $\mathrm{cm}^3$. Das Ergebnis beschreibt einen Rauminhalt und braucht daher eine Kubikeinheit.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Berechnen des Kegelvolumens wird der Radius . Anschließend wird mit der multipliziert. Zum Schluss gehört zum Ergebnis eine .
Durchmesser und Einheiten sicher behandeln
In Sachaufgaben ist manchmal der Durchmesser $d$ gegeben. Er reicht über den ganzen Kreis und ist doppelt so groß wie der Radius:
$$r=\frac{d}{2}$$
Acht kegelförmige Waffeln haben jeweils den Durchmesser $d=6\,\mathrm{cm}$ und die Höhe $h=12\,\mathrm{cm}$. Zuerst folgt $r=3\,\mathrm{cm}$.
Das Volumen einer Waffel beträgt:
$$V=\frac{1}{3}\pi\left(3\,\mathrm{cm}\right)^2\cdot12\,\mathrm{cm}=36\pi\,\mathrm{cm}^3\approx113{,}1\,\mathrm{cm}^3$$
Für acht Waffeln ergibt sich ungefähr:
$$8\cdot113{,}1\,\mathrm{cm}^3\approx905\,\mathrm{cm}^3$$
Rechne alle Längen vor dem Einsetzen in dieselbe Einheit um. Zentimeter und Meter dürfen nicht unverändert in derselben Volumenrechnung stehen.
Die Formel nach der Höhe umstellen
Sind Volumen und Radius bekannt, kannst du die Höhe bestimmen. Ausgangspunkt ist:
$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$$
Multipliziere zuerst mit $3$ und teile danach durch $\pi r^2$:
$$h=\frac{3V}{\pi r^2}$$
Gegeben sind $V=150\pi\,\mathrm{cm}^3$ und $r=5\,\mathrm{cm}$.
$$h=\frac{3\cdot150\pi\,\mathrm{cm}^3}{\pi\left(5\,\mathrm{cm}\right)^2}$$
$$h=\frac{450\pi\,\mathrm{cm}^3}{25\pi\,\mathrm{cm}^2}=18\,\mathrm{cm}$$
Die Einheiten bestätigen das Ergebnis: $\mathrm{cm}^3:\mathrm{cm}^2=\mathrm{cm}$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kegelvolumen
- Größen: Radius $r$ und senkrechte Höhe $h$
- Grundfläche: $G=\pi r^2$
- Formel: $V=\frac{1}{3}Gh=\frac{1}{3}\pi r^2h$
- Vorbereitung: Durchmesser halbieren und Einheiten angleichen
- Ergebnis: in Kubikeinheiten angeben
- Rückwärts rechnen: $h=\frac{3V}{\pi r^2}$
Abschluss-Check
Prüfe bei jeder Aufgabe zum Schluss: Hast du den Radius verwendet, die senkrechte Höhe eingesetzt, durch drei geteilt und eine Kubikeinheit notiert?