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Kugelvolumen berechnen: Formel und Beispiele
Das Volumen einer Kugel mit Radius $r$ berechnest du mit $V=\frac{4}{3}\pi r^3$. Du setzt den Radius in der dritten Potenz ein und gibst das Ergebnis in einer Kubikeinheit wie $\mathrm{cm}^3$ an.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was die Volumenformel bedeutet
Eine Kugel ist ein räumlicher Körper. Ihr Radius $r$ ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche. Das Volumen $V$ gibt an, wie viel Raum die Kugel einnimmt.
Kugelvolumen
Für eine Kugel mit Radius $r$ gilt:
$$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$
Dabei ist $\pi\approx 3{,}1416$. Der Term $r^3$ bedeutet $r\cdot r\cdot r$.
Die dritte Potenz passt zur räumlichen Größe: Wird der Radius mit einem Faktor vervielfacht, wächst das Volumen mit der dritten Potenz dieses Faktors. Beim doppelten Radius wird das Volumen also $2^3=8$-mal so groß.
Länge wird in $\mathrm{cm}$, Fläche in $\mathrm{cm}^2$ und Volumen in $\mathrm{cm}^3$ angegeben. Bei einer Kugelvolumen-Aufgabe brauchst du eine Kubikeinheit.
Vom Durchmesser zum Radius
Manchmal ist nicht der Radius, sondern der Durchmesser $d$ gegeben. Der Durchmesser verläuft durch den Mittelpunkt von einer Seite der Kugel zur anderen. Er ist doppelt so lang wie der Radius:
$$d=2r\qquad\text{und damit}\qquad r=\frac d2$$
Eine Kugel hat den Durchmesser $d=12\,\mathrm{cm}$. Zuerst bestimmst du den Radius:
$$r=\frac{12\,\mathrm{cm}}2=6\,\mathrm{cm}$$
Dann setzt du $r=6\,\mathrm{cm}$ in die Volumenformel ein:
$$V=\frac43\pi(6\,\mathrm{cm})^3=288\pi\,\mathrm{cm}^3$$
Die Kugel hat also ein Volumen von ungefähr $904{,}8\,\mathrm{cm}^3$.
Wenn du direkt mit dem Durchmesser rechnen möchtest, kannst du $r=\frac d2$ einsetzen:
$$V=\frac43\pi\left(\frac d2\right)^3=\frac16\pi d^3$$
Volumen Schritt für Schritt berechnen
Gehe bei jeder Vorwärtsrechnung in vier Schritten vor:
- Prüfe, ob Radius oder Durchmesser gegeben ist.
- Bestimme bei Bedarf den Radius.
- Setze den Radius mit seiner Einheit in $V=\frac43\pi r^3$ ein.
- Runde erst am Ende und notiere eine Kubikeinheit.
Gesucht ist das Volumen einer Kugel mit $r=5\,\mathrm{cm}$.
$$V=\frac43\pi(5\,\mathrm{cm})^3$$
Zuerst wird der Radius kubiert:
$$V=\frac43\pi\cdot125\,\mathrm{cm}^3=\frac{500}{3}\pi\,\mathrm{cm}^3$$
Erst jetzt wird gerundet:
$$V\approx523{,}6\,\mathrm{cm}^3$$
Plausibilitätscheck: Das Ergebnis ist positiv und trägt eine Kubikeinheit. Da $\frac43\pi$ ungefähr $4{,}19$ ist, passt $4{,}19\cdot125\approx524$ zur Größenordnung.
Wenn du mit Einheiten einsetzt, setze Zahl und Einheit gemeinsam in Klammern: $(5\,\mathrm{cm})^3=125\,\mathrm{cm}^3$. So vermeidest du, nur die Zahl zu potenzieren.
Den Radius aus dem Volumen bestimmen
Ist das Volumen gegeben, musst du die Volumenformel nach $r$ auflösen. Entferne zuerst den Faktor $\frac43\pi$ und ziehe danach die Kubikwurzel:
$$V=\frac43\pi r^3$$
$$r^3=\frac{3V}{4\pi}$$
$$r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$$
Eine Kugel hat das Volumen $V=288\pi\,\mathrm{cm}^3$. Bestimme den Radius.
$$r=\sqrt[3]{\frac{3\cdot288\pi\,\mathrm{cm}^3}{4\pi}}$$
Die Faktoren $\pi$ kürzen sich. Im Wurzelausdruck bleibt:
$$r=\sqrt[3]{216\,\mathrm{cm}^3}=6\,\mathrm{cm}$$
Probe:
$$\frac43\pi(6\,\mathrm{cm})^3=288\pi\,\mathrm{cm}^3$$
Der berechnete Radius erzeugt genau das gegebene Volumen.
Beim Rückwärtsrechnen brauchst du die Kubikwurzel, nicht die Quadratwurzel. Sie macht die dritte Potenz rückgängig.
Halbkugel und Begründung der Formel
Eine Halbkugel mit demselben Radius besitzt genau die Hälfte des Kugelvolumens:
$$V_{\text{Halbkugel}}=\frac12\cdot\frac43\pi r^3=\frac23\pi r^3$$
Für eine Halbkugel mit $r=3\,\mathrm{cm}$ gilt:
$$V_{\text{Halbkugel}}=\frac23\pi(3\,\mathrm{cm})^3=18\pi\,\mathrm{cm}^3\approx56{,}5\,\mathrm{cm}^3$$
Das ist die Hälfte des Vollkugelvolumens $36\pi\,\mathrm{cm}^3$.
Vertiefung: Warum steht in der Formel $\frac43$?
Eine Halbkugel lässt sich mit einem Vergleichskörper untersuchen: Aus einem Zylinder mit Radius und Höhe $r$ wird ein Kegel mit derselben Grundfläche und Höhe entfernt. In jeder Höhe sind die Querschnittsflächen des Restkörpers und der Halbkugel gleich groß. Nach dem Satz von Cavalieri haben beide Körper deshalb dasselbe Volumen.
Für den Restkörper gilt:
$$V_{\text{Rest}}=\pi r^2\cdot r-\frac13\pi r^2\cdot r=\frac23\pi r^3$$
Das ist das Volumen der Halbkugel. Durch Verdoppeln erhältst du für die ganze Kugel $V=\frac43\pi r^3$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kugelvolumen
- Vorwärts rechnen: $V=\frac43\pi r^3$
- Radius gegeben: direkt einsetzen
- Durchmesser gegeben: zuerst halbieren
- Rückwärts rechnen: $r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$
- Faktor entfernen
- Kubikwurzel ziehen
- Ergebnis prüfen
- Kubikeinheit verwenden
- erst am Ende runden
- Zusammenhänge
- doppelter Radius: achtfaches Volumen
- Halbkugel: halbes Kugelvolumen
- Vorwärts rechnen: $V=\frac43\pi r^3$