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Kugeloberfläche berechnen: Formel und Beispiele
Die Oberfläche einer Kugel berechnest du mit $O=4\pi r^2$. Kennst du stattdessen den Durchmesser $d$, kannst du direkt $O=\pi d^2$ verwenden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Größen brauchst du?
Eine Kugel hat keine Ecken und Kanten. Alle Punkte ihrer Oberfläche haben denselben Abstand vom Mittelpunkt. Dieser Abstand heißt Radius $r$.
Der Durchmesser $d$ verläuft durch den Mittelpunkt von einer Seite der Kugel zur gegenüberliegenden Seite. Er ist doppelt so lang wie der Radius:
$$d=2r$$
Daraus folgt umgekehrt:
$$r=\frac d2$$
Kugeloberfläche
Die Kugeloberfläche ist die gesamte äußere Fläche der Kugel. Ihr Flächeninhalt wird mit $O$ bezeichnet und in Quadrateinheiten wie $\mathrm{cm^2}$ oder $\mathrm{m^2}$ angegeben.
Radius und Durchmesser sind Längen. Die Oberfläche ist eine Fläche. Deshalb muss ihre Einheit quadriert sein.
Wie berechnest du die Oberfläche aus dem Radius?
Für eine Kugel mit Radius $r$ gilt:
$$O=4\pi r^2$$
Die Kugeloberfläche ist also viermal so groß wie die Fläche eines Kreises mit demselben Radius.
Gehe in dieser Reihenfolge vor:
- Quadriere den Radius samt Einheit.
- Multipliziere mit $4$ und $\pi$.
- Runde erst am Ende, wenn eine Näherung verlangt ist.
- Prüfe, ob das Ergebnis eine Quadrateinheit besitzt.
Eine Kugel hat den Radius $r=6\,\mathrm{cm}$.
Zuerst wird der Radius quadriert:
$$(6\,\mathrm{cm})^2=36\,\mathrm{cm^2}$$
Dann setzt du in die Formel ein:
$$O=4\pi\cdot36\,\mathrm{cm^2}=144\pi\,\mathrm{cm^2}$$
Als Näherungswert erhältst du:
$$O\approx452{,}39\,\mathrm{cm^2}$$
Die Kugel hat eine Oberfläche von ungefähr $452{,}39\,\mathrm{cm^2}$.
Wie rechnest du mit dem Durchmesser?
Ist der Durchmesser gegeben, kannst du zuerst $r=d:2$ berechnen. Schneller geht es mit der gleichwertigen Formel
$$O=\pi d^2$$
Denn aus $r=\frac d2$ folgt:
$$O=4\pi\left(\frac d2\right)^2=4\pi\cdot\frac{d^2}{4}=\pi d^2$$
Eine kugelförmige Oberfläche hat den Durchmesser $d=8\,\mathrm{m}$.
$$O=\pi\cdot(8\,\mathrm{m})^2$$
$$O=64\pi\,\mathrm{m^2}\approx201{,}06\,\mathrm{m^2}$$
Die Oberfläche beträgt ungefähr $201{,}06\,\mathrm{m^2}$.
Wie bestimmst du den Radius aus der Oberfläche?
Ist $O$ gegeben, stellst du die Formel nach $r$ um:
$$O=4\pi r^2$$
Teile zuerst durch $4\pi$:
$$r^2=\frac{O}{4\pi}$$
Ziehe anschließend die Quadratwurzel:
$$r=\sqrt{\frac{O}{4\pi}}$$
Für eine Länge verwendest du nur die nichtnegative Lösung.
Gegeben ist $O=100\pi\,\mathrm{cm^2}$.
$$r=\sqrt{\frac{100\pi\,\mathrm{cm^2}}{4\pi}}$$
$$r=\sqrt{25\,\mathrm{cm^2}}=5\,\mathrm{cm}$$
Die Kugel hat den Radius $5\,\mathrm{cm}$.
Was passiert beim Vergrößern?
Die Oberfläche hängt vom Quadrat des Radius ab. Wird der Radius mit dem Faktor $k$ vervielfacht, wächst die Oberfläche mit dem Faktor $k^2$.
Doppelter Radius bedeutet vierfache Oberfläche. Dreifacher Radius bedeutet neunfache Oberfläche.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kugeloberfläche
- Radius und Durchmesser: $d=2r$
- Radius gegeben: $O=4\pi r^2$
- Durchmesser gegeben: $O=\pi d^2$
- Oberfläche gegeben: $r=\sqrt{O/(4\pi)}$
- Größenänderung: Radiusfaktor wird quadriert
- Ergebniskontrolle: positive Zahl und Quadrateinheit
Abschluss-Check
Prüfe bei jeder Rechnung zum Schluss: Hast du Radius und Durchmesser richtig zugeordnet, den Wert quadriert und eine Quadrateinheit angegeben?