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Bälle, Planeten und Murmeln haben eine gemeinsame Grundform: die Kugel. Nach dieser Seite kannst du die wichtigsten Begriffe unterscheiden und Oberfläche sowie Volumen berechnen.
- Ich kann Radius, Durchmesser und Mittelpunkt einer Kugel erklären.
- Ich kann die Oberfläche einer Kugel berechnen.
- Ich kann das Volumen einer Kugel berechnen.
- Ich kann entscheiden, welche Formel in einer Aufgabe passt.
Die Kugel als Körper
Eine Kugel ist ein räumlicher Körper. Alle Punkte auf ihrer Oberfläche sind gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Dieser Abstand heißt Radius.
Kugel
Eine Kugel ist die Menge aller Punkte im Raum, die höchstens den Abstand \(r\) vom Mittelpunkt \(M\) haben. Die Oberfläche besteht aus allen Punkten mit genau diesem Abstand \(r\).
Hat eine Kugel den Radius \(r=5\ \text{cm}\), dann ist der Durchmesser \(d=2r=10\ \text{cm}\).
Radius ist halber Durchmesser: \(r=\frac d2\). Durchmesser ist doppelter Radius: \(d=2r\).
Oberfläche berechnen
Die Oberfläche beschreibt die äußere Fläche der Kugel. Wenn du eine Kugel anmalst, brauchst du ungefähr diese Fläche an Farbe.
Kugeloberfläche
Die Oberfläche einer Kugel mit Radius \(r\) ist \(O=4\pi r^2\).
Eine Kugel hat \(r=3\ \text{cm}\).
- Formel: \(O=4\pi r^2\).
- Einsetzen: \(O=4\pi\cdot 3^2\).
- Rechnen: \(3^2=9\), also \(O=36\pi\ \text{cm}^2\).
- Näherung: \(36\pi\approx 113{,}1\ \text{cm}^2\).
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Volumen berechnen
Das Volumen beschreibt, wie viel Raum die Kugel ausfüllt. Bei einer Glaskugel wäre das der Rauminhalt des Glases.
Kugelvolumen
Das Volumen einer Kugel mit Radius \(r\) ist \(V=\frac43\pi r^3\).
Eine Kugel hat \(r=6\ \text{cm}\).
- Formel: \(V=\frac43\pi r^3\).
- Einsetzen: \(V=\frac43\pi\cdot 6^3\).
- \(6^3=216\).
- \(\frac43\cdot216=288\).
- Also \(V=288\pi\ \text{cm}^3\approx 904{,}8\ \text{cm}^3\).
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Prüfungsmodus
Lies genau, ob Radius oder Durchmesser gegeben ist. Viele Fehler entstehen, weil der Durchmesser direkt in die Formel eingesetzt wird.
Der Durchmesser einer Kugel ist \(14\ \text{cm}\). Berechne das Volumen.
- Erst Radius finden: \(r=\frac{14}{2}=7\ \text{cm}\).
- Formel: \(V=\frac43\pi r^3\).
- Einsetzen: \(V=\frac43\pi\cdot 7^3=\frac{1372}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
- Näherung: \(V\approx 1436{,}8\ \text{cm}^3\).
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Bei Kugelaufgaben klärst du zuerst, ob Radius oder Durchmesser gegeben ist. Für die Oberfläche nutzt du \(O=4\pi r^2\), für das Volumen \(V=\frac43\pi r^3\). Achte immer auf Quadrat- und Kubikeinheiten.