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Kugelgleichung: Mittelpunkt, Radius und Schnitte
Eine Kugelgleichung beschreibt alle Punkte im Raum, die von einem festen Mittelpunkt denselben Abstand haben. In der Mittelpunktform erkennst du Mittelpunkt und Radius direkt; bei einer ausmultiplizierten Gleichung stellst du diese Form durch quadratische Ergänzung wieder her.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was die Kugelgleichung bedeutet
Stell dir einen Punkt $M(m_1|m_2|m_3)$ im dreidimensionalen Koordinatensystem vor. Alle Punkte $P(x|y|z)$, deren Abstand von $M$ genau $r$ beträgt, bilden die Kugeloberfläche mit Radius $r$.
Mittelpunktform
Die Mittelpunktform einer Kugelgleichung lautet
$$(x-m_1)^2+(y-m_2)^2+(z-m_3)^2=r^2.$$
Sie beschreibt die Kugeloberfläche, nicht den ausgefüllten Kugelkörper.
Warum stehen dort drei Quadrate? Der Verbindungsvektor von $M$ zu $P$ hat die Komponenten $x-m_1$, $y-m_2$ und $z-m_3$. Nach der räumlichen Abstandsformel gilt
$$d(M,P)^2=(x-m_1)^2+(y-m_2)^2+(z-m_3)^2.$$
Für einen Punkt auf der Kugel ist $d(M,P)=r$. Deshalb steht rechts $r^2$.
Links steht der quadrierte Abstand zum Mittelpunkt, rechts das Quadrat des Radius.
Mittelpunkt und Radius ablesen oder einsetzen
Vergleiche jede Klammer mit $(x-m_1)$, $(y-m_2)$ und $(z-m_3)$. Das Vorzeichen der Mittelpunktkoordinate ist dabei das Gegenzeichen in der Klammer.
Gegeben ist
$$(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25.$$
Du liest ab:
- $(x-1)^2$ liefert $m_1=1$.
- $(y+2)^2=(y-(-2))^2$ liefert $m_2=-2$.
- $(z-3)^2$ liefert $m_3=3$.
- $r^2=25$ liefert $r=5$.
Also gilt $M(1|-2|3)$ und $r=5$.
Beim Aufstellen gehst du rückwärts vor: Mittelpunktkoordinaten mit Gegenzeichen in die Klammern einsetzen und den Radius quadrieren.
Gesucht ist die Kugelgleichung für $M(-2|3|1)$ und $r=4$.
$$(x-(-2))^2+(y-3)^2+(z-1)^2=4^2$$
und damit
$$(x+2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=16.$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die Kugel $(x+4)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=9$ hat den Mittelpunkt $M(||)$ und den Radius $$.
Punkte zur Kugel einordnen
Setze die Koordinaten eines Punktes in die linke Seite der Mittelpunktform ein. Du vergleichst den erhaltenen quadrierten Abstand $d^2$ mit $r^2$:
- $d^2=r^2$: Der Punkt liegt auf der Kugel.
- $d^2\lt r^2$: Der Punkt liegt innerhalb der Kugeloberfläche.
- $d^2>r^2$: Der Punkt liegt außerhalb der Kugeloberfläche.
Du musst keine Wurzel ziehen. Der Vergleich der Quadrate reicht aus.
Für
$$K:(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25$$
soll die Lage von $P(4|2|3)$ geprüft werden.
Einsetzen ergibt
$$(4-1)^2+(2+2)^2+(3-3)^2=3^2+4^2+0^2=25.$$
Die linke Seite ist gleich $r^2=25$. Daher liegt $P$ auf der Kugel.
Eine Gerade mit der Kugel schneiden
Eine Gerade enthält einen Parameter, zum Beispiel $t$. Setze ihre drei Koordinatenterme für $x$, $y$ und $z$ in die Kugelgleichung ein. Danach löst du die entstehende Gleichung nach $t$.
Die Anzahl der reellen Parameterwerte zeigt die Lage:
- zwei Werte: Die Gerade ist eine Sekante und schneidet die Kugel in zwei Punkten;
- ein Wert: Die Gerade ist eine Tangente und berührt die Kugel in einem Punkt;
- kein reeller Wert: Die Gerade ist eine Passante und hat keinen gemeinsamen Punkt mit der Kugel.
Gegeben sind
$$K:x^2+y^2+z^2=9$$
und
$$g:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.$$
Auf der Geraden gilt $x=t$, $y=0$ und $z=2$. Einsetzen in die Kugelgleichung liefert
$$t^2+0^2+2^2=9,$$
$$t^2=5,$$
$$t_1=\sqrt5\quad\text{und}\quad t_2=-\sqrt5.$$
Setze beide Werte wieder in die Gerade ein:
$$S_1(\sqrt5|0|2),\qquad S_2(-\sqrt5|0|2).$$
Es gibt zwei Schnittpunkte; $g$ ist eine Sekante.
Die Lösungen für $t$ sind noch nicht die Schnittpunkte. Erst das Einsetzen jedes Parameterwerts in die Gerade liefert die drei Punktkoordinaten.
Die ausmultiplizierte Form zurückverwandeln
In einer Gleichung wie
$$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$$
sind Mittelpunkt und Radius nicht direkt sichtbar. Mit der quadratischen Ergänzung machst du aus jedem Paar aus Quadrat- und linearem Term wieder ein Binom.
Für eine Variable gilt:
$$u^2+pu=\left(u+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2.$$
Du halbierst also den Koeffizienten vor der Variablen und quadrierst diese Hälfte.
Gegeben ist
$$x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z-11=0.$$
1. Lineare und quadratische Terme gruppieren:
$$(x^2-4x)+(y^2+6y)+(z^2-2z)=11.$$
2. Jedes Quadrat ergänzen:
$$x^2-4x=(x-2)^2-4,$$
$$y^2+6y=(y+3)^2-9,$$
$$z^2-2z=(z-1)^2-1.$$
3. Einsetzen und die abgezogenen Zahlen auf die rechte Seite bringen:
$$(x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=11+4+9+1=25.$$
Damit hat die Kugel den Mittelpunkt $M(2|-3|1)$ und den Radius $r=5$.
Kontrolliere dein Ergebnis durch Ausmultiplizieren. Die drei konstanten Summanden $4+9+1$ werden beim Vergleich mit $25$ wieder zu $-11$ auf der linken Seite.
Nach der Ergänzung muss rechts $r^2$ stehen. Ist dieser Wert positiv, erhältst du eine Kugel mit $r=\sqrt{r^2}$. Bei $r^2=0$ bleibt nur der Mittelpunkt als einzelner Punkt; bei $r^2\lt 0$ gibt es keine reellen Punkte.
Typische Fehler erkennen und vermeiden
Vorzeichen ungeprüft übernehmen: Aus $(y+3)^2$ folgt $m_2=-3$, weil $y+3=y-(-3)$ gilt.
Radius und Radiusquadrat verwechseln: Bei einer rechten Seite von $49$ ist $r=7$, nicht $49$.
Beim Ergänzen nur eine Seite verändern: Wenn du auf einer Seite einer Gleichung etwas addierst, musst du die Gleichheit ausgleichen. Die Schreibweise $(x-2)^2-4$ macht diesen Ausgleich sichtbar.
„Innerhalb“ mit „auf der Kugel“ verwechseln: Ein innerer Punkt hat einen kleineren Abstand als $r$, erfüllt aber die Kugelgleichung mit dem Gleichheitszeichen nicht.
Parameterwerte als Punkte ausgeben: Ein Wert wie $t=2$ ist nur eine Parameterlösung. Setze ihn in die Geradengleichung ein, um einen Raumpunkt zu erhalten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kugelgleichung
- Bedeutung: fester Abstand $r$ vom Mittelpunkt
- Mittelpunktform: Mittelpunkt und Radius direkt ablesen
- Punktprobe: quadrierten Abstand mit $r^2$ vergleichen
- Geradenschnitt: einsetzen, Parameter lösen, Schnittpunkte bilden
- Ausmultiplizierte Form: quadratisch ergänzen
- Kontrolle: Vorzeichen, Radiusquadrat und Rückeinsetzen prüfen