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Eine Kugel im Koordinatensystem besteht aus allen Punkten mit gleichem Abstand zu einem Mittelpunkt. Die Kugelgleichung schreibt genau diese Idee als Formel.
- Ich kann das Thema Kugelgleichung in eigenen Worten erklären.
- Ich kann typische Aufgaben zu diesem Thema Schritt für Schritt lösen.
- Ich kann wichtige Begriffe erkennen und voneinander unterscheiden.
- Ich kann meine Rechnung oder Entscheidung mit einer Probe kontrollieren.
Worum es geht
Im Raum hat ein Punkt drei Koordinaten. Für den Abstand zu \(M(m_1,m_2,m_3)\) nutzt du die räumliche Abstandformel. Alle Punkte im Abstand \(r\) liegen auf der Kugel.
Kugelgleichung
Eine Kugel mit Mittelpunkt \(M(a,b,c)\) und Radius \(r\) hat die Gleichung \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\).
Mittelpunkt wird in den Klammern abgezogen; rechts steht der Radius zum Quadrat.
Schritt für Schritt
Lies Mittelpunkt und Radius ab. Setze sie in die Normalform ein. Für Punktproben setzt du die Koordinaten ein und vergleichst mit \(r^2\).
Mittelpunkt \(M(1,2,-3)\), Radius \(4\).
Die Kugelgleichung lautet \((x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=16\).
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Typische Fehler vermeiden
Achte auf Vorzeichen: Bei Mittelpunktkoordinate \(-3\) steht in der Klammer \(z-(-3)=z+3\).
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Prüfungsmodus
Bei Punktlage gilt: linke Seite kleiner als \(r^2\) innen, gleich auf der Kugel, größer außen.
Prüfe \(P(1,2,1)\) für die Kugel aus dem Beispiel.
Links: \(0^2+0^2+4^2=16\). Also liegt \(P\) auf der Kugel.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Die Kugelgleichung ist die Abstandformel in kompakter Form. Wer Mittelpunkt, Radius und Vorzeichen sauber behandelt, kann Kugeln sicher aufstellen und Punkte prüfen.