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Kegeloberfläche berechnen: Formel und Beispiele
Die Oberfläche eines geraden Kreiskegels besteht aus Grundfläche und Mantelfläche. Du berechnest sie mit $O = G + M = \pi r^2 + \pi r s$. Fehlt die Mantellinie $s$, bestimmst du sie zuerst aus Radius $r$ und Höhe $h$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Aus welchen Flächen besteht die Oberfläche?
Stell dir vor, du schneidest einen geraden Kreiskegel an einer Mantellinie auf und legst ihn flach hin. Sein Netz besteht aus einem Kreis und einem Kreisausschnitt.
Grundfläche
Die Grundfläche $G$ ist der Kreis am Boden. Für den Radius $r$ gilt:
$$G = \pi r^2$$
Mantelfläche
Die Mantelfläche $M$ ist die gekrümmte Seitenfläche. Abgewickelt ist sie ein Kreisausschnitt. Seine schräge Länge ist die Mantellinie $s$:
$$M = \pi r s$$
Die gesamte äußere Fläche ist daher:
$$O = G + M = \pi r^2 + \pi r s$$
Warum lautet die Mantelformel $M = \pi r s$? Der Bogen des abgewickelten Mantels ist genauso lang wie der Umfang der Grundfläche, also $2\pi r$. Der Mantelsektor nimmt damit den Anteil $r/s$ an einem Kreis mit Radius $s$ ein. Deshalb gilt:
$$M = \frac{r}{s}\cdot \pi s^2 = \pi r s$$
Bei der Oberfläche addierst du eine Grundfläche und eine Mantelfläche. Das Ergebnis hat immer eine Flächeneinheit wie $\mathrm{cm^2}$.
So rechnest du mit Radius und Mantellinie
Sind $r$ und $s$ gegeben, gehst du in drei Schritten vor:
- Berechne $G = \pi r^2$.
- Berechne $M = \pi r s$.
- Addiere $O = G + M$.
Gegeben sind $r = 3\,\mathrm{cm}$ und $s = 8\,\mathrm{cm}$.
Zuerst die Grundfläche:
$$G = \pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2 = 9\pi\,\mathrm{cm^2}$$
Dann die Mantelfläche:
$$M = \pi\cdot3\,\mathrm{cm}\cdot8\,\mathrm{cm} = 24\pi\,\mathrm{cm^2}$$
Nun addierst du:
$$O = 9\pi\,\mathrm{cm^2} + 24\pi\,\mathrm{cm^2} = 33\pi\,\mathrm{cm^2} \approx 103{,}7\,\mathrm{cm^2}$$
Die Oberfläche beträgt ungefähr $103{,}7\,\mathrm{cm^2}$.
Probiere es selbst
Ein Kegel hat $r = 6\,\mathrm{cm}$ und $s = 14\,\mathrm{cm}$. Berechne seine Oberfläche zuerst exakt mit $\pi$ und dann auf eine Nachkommastelle gerundet.
Wenn statt der Mantellinie die Höhe gegeben ist
Die senkrechte Höhe $h$ führt von der Spitze zum Mittelpunkt der Grundfläche. Die Mantellinie $s$ führt schräg von der Spitze zum Rand der Grundfläche. $r$, $h$ und $s$ bilden im Schnittbild ein rechtwinkliges Dreieck; $s$ ist seine Hypotenuse.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
$$s^2 = r^2 + h^2$$
Also:
$$s = \sqrt{r^2 + h^2}$$
Gegeben sind $r = 4\,\mathrm{cm}$ und $h = 3\,\mathrm{cm}$.
Zuerst bestimmst du die Mantellinie:
$$s = \sqrt{(4\,\mathrm{cm})^2 + (3\,\mathrm{cm})^2} = \sqrt{25\,\mathrm{cm^2}} = 5\,\mathrm{cm}$$
Dann berechnest du die beiden Flächen:
$$G = \pi\cdot4^2\,\mathrm{cm^2} = 16\pi\,\mathrm{cm^2}$$
$$M = \pi\cdot4\cdot5\,\mathrm{cm^2} = 20\pi\,\mathrm{cm^2}$$
Damit ist:
$$O = 36\pi\,\mathrm{cm^2} \approx 113{,}1\,\mathrm{cm^2}$$
Die Oberfläche beträgt ungefähr $113{,}1\,\mathrm{cm^2}$.
So vermeidest du typische Fehler
Prüfe vor dem Einsetzen vier Dinge:
- Radius oder Durchmesser? Ist der Durchmesser $d$ gegeben, gilt $r = d/2$.
- Höhe oder Mantellinie? In $M = \pi r s$ brauchst du $s$, nicht $h$.
- Gleiche Längeneinheit? Wandle alle Längen vor dem Rechnen in dieselbe Einheit um.
- Flächeneinheit? Eine Oberfläche wird beispielsweise in $\mathrm{cm^2}$ oder $\mathrm{m^2}$ angegeben.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für die Grundfläche gilt $G = \pi$ mal Radius zum . Für die Mantelfläche brauchst du die , nicht die senkrechte Höhe. Bei einem Durchmesser von $10\,\mathrm{cm}$ ist der Radius . Das Ergebnis einer Oberflächenberechnung steht in einer .
Die Formeln dieser Seite gelten für einen geraden Kreiskegel: Seine Grundfläche ist ein Kreis, und die Spitze liegt senkrecht über dessen Mittelpunkt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Oberfläche des geraden Kreiskegels
- Grundfläche: $G = \pi r^2$
- Mantelfläche: $M = \pi r s$
- Gesamtfläche: $O = G + M$
- Mantellinie fehlt: $s = \sqrt{r^2 + h^2}$
- Vor dem Rechnen: Radius und gleiche Einheiten prüfen