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Ein Kegelstumpf entsteht, wenn man die Spitze eines Kegels parallel zur Grundfläche abschneidet. Solche Formen findest du bei Eimern, Blumentöpfen oder Lampenschirmen.
- Ich kann einen Kegelstumpf beschreiben.
- Ich kann die Größen $R$, $r$ und $h$ unterscheiden.
- Ich kann das Volumen eines Kegelstumpfs berechnen.
- Ich kann Plausibilität über Grenzfälle prüfen.
Was ein Kegelstumpf ist
Ein Kegelstumpf hat zwei parallele Kreisflächen: eine größere und eine kleinere.
Kegelstumpf
Ein Kegelstumpf entsteht durch einen Schnitt parallel zur Grundfläche eines Kegels. Er hat die Radien \(R\) und \(r\) sowie die senkrechte Höhe \(h\).
Ein Blumentopf kann näherungsweise ein Kegelstumpf sein: oben größerer Radius \(R\), unten kleinerer Radius \(r\), dazwischen die Höhe \(h\).
\(R\) und \(r\) sind Radien, keine Durchmesser. Die Höhe ist senkrecht.
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Volumenformel
Das Volumen liegt zwischen dem Volumen eines Zylinders mit kleinem Radius und einem Zylinder mit großem Radius.
Volumen Kegelstumpf
Für einen Kegelstumpf gilt \(V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)\).
Gegeben sind \(R=5\,\text{cm}\), \(r=2\,\text{cm}\) und \(h=6\,\text{cm}\).
\(V=\frac{1}{3}\pi\cdot6\cdot(25+10+4)=2\pi\cdot39=78\pi\,\text{cm}^3\approx245{,}0\,\text{cm}^3\).
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Prüfungsmodus
Wenn \(R=r\) ist, wird der Kegelstumpf zum Zylinder. Dann muss die Formel \(V=\pi r^2h\) ergeben.
Setze \(R=r=4\) in die Formel: \(V=\frac{1}{3}\pi h(16+16+16)=16\pi h\). Das ist genau das Zylindervolumen.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Der Kegelstumpf hat zwei parallele Kreisflächen und eine senkrechte Höhe. Für sein Volumen nutzt du \(V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)\). Prüfe Radien, Höhe und Kubikeinheit sorgfältig.