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Kegelstumpf berechnen: Volumen und Oberfläche
Ein gerader Kegelstumpf entsteht, wenn du die Spitze eines geraden Kreiskegels parallel zur Grundfläche abschneidest. Für Berechnungen brauchst du meist die beiden Radien $R$ und $r$ sowie die senkrechte Höhe $h$. Bei Mantel und Oberfläche kommt die schräge Mantellinie $m$ hinzu.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du einen Kegelstumpf?
Stell dir einen Blumentopf oder Eimer mit unterschiedlich großen, parallelen Kreisflächen vor. Ein solcher Gegenstand lässt sich näherungsweise als gerader Kreiskegelstumpf beschreiben.
Kegelstumpf
Ein gerader Kreiskegelstumpf ist der Teil eines geraden Kreiskegels, der nach einem Schnitt parallel zur Grundfläche übrig bleibt. Er besitzt eine größere Grundfläche, eine kleinere Deckfläche und eine gekrümmte Mantelfläche.
Wir verwenden einheitlich:
- $R$: Radius des größeren Kreises
- $r$: Radius des kleineren Kreises
- $h$: senkrechter Abstand zwischen den Kreisflächen
- $m$: schräge Mantellinie
Dabei gilt $R>r$. Sind beide Radien gleich, liegt kein eigentlicher Kegelstumpf, sondern ein Zylinder vor.
In die Formeln gehören Radien. Ist ein Durchmesser $d$ gegeben, rechne zuerst $r=\frac{d}{2}$.
Wie hängen Höhe und Mantellinie zusammen?
In einem Schnitt durch die Achse erkennst du ein rechtwinkliges Dreieck. Seine Katheten sind $h$ und $R-r$; seine Hypotenuse ist $m$.
Deshalb gilt nach dem Satz des Pythagoras:
$$m^2=h^2+(R-r)^2$$
Ist die Mantellinie gesucht, verwendest du:
$$m=\sqrt{h^2+(R-r)^2}$$
Ist stattdessen die senkrechte Höhe gesucht, gilt:
$$h=\sqrt{m^2-(R-r)^2}$$
Gegeben sind $R=10\,\mathrm{cm}$, $r=4\,\mathrm{cm}$ und $h=8\,\mathrm{cm}$.
Zuerst bestimmst du den Unterschied der Radien:
$$R-r=10\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}=6\,\mathrm{cm}$$
Dann setzt du ein:
$$m=\sqrt{(8\,\mathrm{cm})^2+(6\,\mathrm{cm})^2}$$
$$m=\sqrt{64\,\mathrm{cm^2}+36\,\mathrm{cm^2}}=\sqrt{100\,\mathrm{cm^2}}=10\,\mathrm{cm}$$
Die Mantellinie ist $10\,\mathrm{cm}$ lang.
Wie berechnest du das Volumen?
Das Volumen ist der Rauminhalt des Kegelstumpfs. Die Formel lautet:
$$V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$$
Du brauchst dafür $R$, $r$ und $h$. Die Mantellinie $m$ wird nicht benötigt.
Gegeben sind $R=12\,\mathrm{cm}$, $r=6\,\mathrm{cm}$ und $h=10\,\mathrm{cm}$.
Zuerst berechnest du den Ausdruck in der Klammer:
$$R^2+Rr+r^2=12^2+12\cdot6+6^2=144+72+36=252$$
Dann setzt du in die Volumenformel ein:
$$V=\frac{\pi\cdot10}{3}\cdot252\,\mathrm{cm^3}=840\pi\,\mathrm{cm^3}$$
Gerundet ergibt das:
$$V\approx2638{,}94\,\mathrm{cm^3}$$
Das Volumen des Kegelstumpfs beträgt ungefähr $2639\,\mathrm{cm^3}$.
Beim Volumen werden drei Längen miteinander verrechnet. Deshalb erhält das Ergebnis eine kubische Einheit, zum Beispiel $\mathrm{cm^3}$.
Wie berechnest du Mantel und Oberfläche?
Die beiden Kreisflächen sind:
$$A_G=\pi R^2$$
$$A_D=\pi r^2$$
Für die gekrümmte Mantelfläche gilt:
$$A_M=\pi m(R+r)$$
Die gesamte Oberfläche besteht aus Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche:
$$O=A_G+A_D+A_M$$
Zusammengefasst erhältst du:
$$O=\pi\left(R^2+r^2+m(R+r)\right)$$
Für $R=10\,\mathrm{cm}$, $r=4\,\mathrm{cm}$ und $m=10\,\mathrm{cm}$ ergibt sich:
$$O=\pi\left(10^2+4^2+10(10+4)\right)\,\mathrm{cm^2}$$
$$O=\pi(100+16+140)\,\mathrm{cm^2}=256\pi\,\mathrm{cm^2}$$
$$O\approx804{,}25\,\mathrm{cm^2}$$
Die gesamte Oberfläche beträgt ungefähr $804\,\mathrm{cm^2}$.
Achte auf die Aufgabenformulierung: Soll nur die Seitenwand beklebt werden, brauchst du die Mantelfläche $A_M$. Soll der gesamte geschlossene Körper betrachtet werden, gehören beide Kreisflächen dazu.
Wie löst du eine Sachaufgabe?
Gehe in dieser Reihenfolge vor:
- Notiere die gegebenen Größen mit Einheiten.
- Halbiere angegebene Durchmesser.
- Entscheide, ob Volumen, Mantelfläche oder gesamte Oberfläche gesucht ist.
- Berechne bei Bedarf zuerst die Mantellinie.
- Setze die Werte mit Einheiten ein.
- Runde erst am Ende und prüfe die Ergebniseinheit.
Ein umgedrehter Papierkorb wird als Kegelstumpf modelliert. Die Kreise haben die Durchmesser $46\,\mathrm{cm}$ und $30\,\mathrm{cm}$. Die Höhe beträgt $50\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist das Fassungsvermögen.
Aus den Durchmessern folgen die Radien:
$$R=23\,\mathrm{cm},\qquad r=15\,\mathrm{cm}$$
Nun setzt du in die Volumenformel ein:
$$V=\frac{\pi}{3}\cdot50(23^2+23\cdot15+15^2)\,\mathrm{cm^3}$$
$$V=\frac{\pi}{3}\cdot50(529+345+225)\,\mathrm{cm^3}$$
$$V=\frac{54950\pi}{3}\,\mathrm{cm^3}\approx57544\,\mathrm{cm^3}$$
Wegen $1000\,\mathrm{cm^3}=1\,\mathrm{l}$ entspricht das ungefähr $57{,}5\,\mathrm{l}$.
Der modellierte Papierkorb fasst also etwa $57{,}5$ Liter.
Reale Eimer, Gläser oder Töpfe sind oft keine vollkommenen Kegelstümpfe. Das berechnete Fassungsvermögen ist dann eine Näherung. Wandstärke und unregelmäßige Formen können das tatsächliche Volumen verändern.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kegelstumpf
- Größen: $R$, $r$, $h$, $m$
- Mantellinie: Pythagoras mit $h$ und $R-r$
- Volumen: beide Radien und senkrechte Höhe
- Mantelfläche: beide Radien und Mantellinie
- Oberfläche: zwei Kreisflächen plus Mantelfläche
- Sachaufgaben: Durchmesser halbieren und Einheit prüfen
Abschluss-Check
Du bist fertig, wenn du aus einer Skizze die benötigten Größen ablesen, Durchmesser sicher halbieren, die passende Formel auswählen und dein Ergebnis als Fläche oder Volumen mit korrekter Einheit deuten kannst.