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Kegelvolumen berechnen: Formel und Beispiele
Das Volumen eines Kegels berechnest du mit einem Drittel aus Grundfläche mal senkrechter Höhe. Für eine kreisförmige Grundfläche lautet die Formel: $V = \frac{1}{3} · π · r^2 · h$.
Auf dieser Seite lernst du, die richtigen Größen auszuwählen, die Formel schrittweise anzuwenden und Ergebnisse im Sachzusammenhang zu prüfen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Größen brauchst du?
Ein Kegel hat eine kreisförmige Grundfläche, eine Spitze und eine Mantelfläche. Für sein Volumen brauchst du nur zwei Längen:
- den Radius $r$ der Grundfläche;
- die senkrechte Höhe $h$ zwischen Grundfläche und Spitze.
Radius
Der Radius ist die Strecke vom Mittelpunkt des Grundkreises bis zu seinem Rand. Ist der Durchmesser $d$ gegeben, gilt: $r = d : 2$.
Senkrechte Höhe
Die Höhe $h$ ist der kürzeste, senkrechte Abstand zwischen der Grundfläche und der Spitze. Sie ist nicht automatisch die schräge Strecke auf der Mantelfläche.
Bei einem geraden Kegel liegt die Spitze über dem Mittelpunkt des Grundkreises. Auch bei einem schiefen Kegel gilt dieselbe Volumenformel, solange du die senkrechte Höhe verwendest.
Warum lautet die Formel so?
Die Grundfläche des Kegels ist ein Kreis. Ihre Fläche ist:
$$G = π · r^2$$
Das Kegelvolumen ist ein Drittel aus Grundfläche mal Höhe:
$$V = \frac{1}{3} · G · h$$
Setzt du $G = π · r^2$ ein, erhältst du:
$$V = \frac{1}{3} · π · r^2 · h$$
Der Faktor $\frac{1}{3}$ lässt sich durch einen Vergleich verstehen: Ein Kegel besitzt bei gleicher Grundfläche und gleicher Höhe genau ein Drittel des Volumens eines Zylinders. Drei entsprechende Kegelfüllungen füllen den Zylinder.
Gleicher Radius und gleiche Höhe: Das Kegelvolumen ist ein Drittel des Zylindervolumens.
Wie rechnest du Schritt für Schritt?
Gegeben sind ein Radius von $5\,\mathrm{cm}$ und eine Höhe von $9\,\mathrm{cm}$.
1. Zusammenhang bestimmen
Gesucht ist ein Volumen. Gegeben sind Radius und senkrechte Höhe, daher passt die Kegelformel.
2. Formel notieren
$$V = \frac{1}{3} · π · r^2 · h$$
3. Werte mit Einheiten einsetzen
$$V = \frac{1}{3} · π · (5\,\mathrm{cm})^2 · 9\,\mathrm{cm}$$
4. Potenz und Faktoren berechnen
$$V = \frac{1}{3} · π · 25\,\mathrm{cm}^2 · 9\,\mathrm{cm}$$
$$V = 75π\,\mathrm{cm}^3$$
5. Näherungswert und Antwort angeben
$$V \approx 235{,}6\,\mathrm{cm}^3$$
Der Kegel hat ein Volumen von ungefähr $235{,}6\,\mathrm{cm}^3$.
Das Ergebnis trägt eine kubische Einheit, weil beim Rechnen drei Längenfaktoren zusammenkommen: $\mathrm{cm}^2 · \mathrm{cm} = \mathrm{cm}^3$.
Wie gehst du mit einem Durchmesser um?
In Sachaufgaben ist manchmal der Durchmesser statt des Radius angegeben. Dann brauchst du vor der Volumenberechnung einen zusätzlichen Schritt.
Eine Eiswaffel hat den Durchmesser $6\,\mathrm{cm}$ und die Höhe $12\,\mathrm{cm}$.
1. Durchmesser halbieren
$$r = 6\,\mathrm{cm} : 2 = 3\,\mathrm{cm}$$
2. Volumen einer Waffel berechnen
$$V = \frac{1}{3} · π · (3\,\mathrm{cm})^2 · 12\,\mathrm{cm}$$
$$V = 36π\,\mathrm{cm}^3 \approx 113{,}1\,\mathrm{cm}^3$$
3. Acht gleich große Waffeln berücksichtigen
$$8 · 36π\,\mathrm{cm}^3 = 288π\,\mathrm{cm}^3 \approx 905\,\mathrm{cm}^3$$
Für acht Waffeln werden ungefähr $905\,\mathrm{cm}^3$ Füllung benötigt.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
Prüfe vor und nach jeder Rechnung vier Punkte:
- Radius statt Durchmesser: Halbiere einen gegebenen Durchmesser.
- Senkrechte Höhe: Verwende nicht die schräge Mantellinie.
- Faktor $\frac{1}{3}$: Ohne ihn berechnest du das Volumen des Vergleichszylinders.
- Kubische Einheit: Bei Längen in Zentimetern erhältst du ein Volumen in Kubikzentimetern.
Runde möglichst erst am Ende. So vermeidest du, dass sich Rundungsfehler über mehrere Rechenschritte vergrößern.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kegelvolumen
- Benötigte Größen
- Radius $r$
- senkrechte Höhe $h$
- Grundfläche
- $G = π · r^2$
- Volumenformel
- $V = \frac{1}{3} · G · h$
- $V = \frac{1}{3} · π · r^2 · h$
- Vergleich
- ein Drittel des passenden Zylindervolumens
- Kontrolle
- Durchmesser halbieren
- kubische Einheit verwenden
- erst am Ende runden
- Benötigte Größen
Abschluss-Check
Wenn du Radius, senkrechte Höhe, den Faktor $\frac{1}{3}$ und die kubische Einheit prüfst, kannst du Kegelvolumen zuverlässig berechnen.