Volumen einer Pyramide berechnen: Formel & Beispiele
Volumen einer Pyramide berechnen: Formel & Beispiele
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Das Volumen einer Pyramide berechnest du mit einem Drittel aus Grundfläche mal senkrechter Höhe:
$$V=\frac13\cdot G\cdot h$$
Dabei ist $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche und $h$ der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und Spitze.
◎Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
7 Kapitel
1Was bedeuten Grundfläche und Höhe?⌄
Eine Pyramide besitzt ein Vieleck als Grundfläche. Das kann zum Beispiel ein Dreieck, ein Quadrat oder ein Parallelogramm sein. Die seitlichen Dreiecke laufen in einer Spitze zusammen.
▤Definition
Grundfläche G
$G$ bezeichnet den Flächeninhalt des unteren Vielecks. Bei einem Quadrat mit Seitenlänge $a$ gilt zum Beispiel $G=a^2$. $G$ ist eine Fläche und wird daher in Quadrateinheiten wie $\text{cm}^2$ angegeben.
▤Definition
Pyramidenhöhe h
Die Pyramidenhöhe $h$ ist der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche. Sie ist weder eine schräge Seitenkante noch die Höhe eines seitlichen Dreiecks.
Die Spitze muss nicht über der Mitte der Grundfläche liegen. Auch bei einer schiefen Pyramide verwendest du den senkrechten Abstand als Höhe.
✦Merke
Für die Volumenformel brauchst du den Flächeninhalt $G$ und die senkrechte Pyramidenhöhe $h$.
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2So berechnest du das Volumen⌄
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor:
Erkenne die Form der Grundfläche.
Berechne ihren Flächeninhalt $G$.
Prüfe, welche Strecke die senkrechte Höhe $h$ ist.
Setze $G$ und $h$ in $V=\frac13Gh$ ein.
Gib das Ergebnis in einer Kubikeinheit an.
✎Beispiel
Gegeben sind $G=24\,\text{cm}^2$ und $h=10\,\text{cm}$.
Die Einheit passt: Eine Fläche in $\text{cm}^2$ mal eine Länge in $\text{cm}$ ergibt ein Volumen in $\text{cm}^3$.
Warum steht in der Formel der Faktor $\frac13$? Eine Pyramide besitzt ein Drittel des Volumens eines Prismas mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. Da für das Prisma $V=Gh$ gilt, folgt für die Pyramide $V=\frac13Gh$.
↔Lückentext
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für das Volumen einer Pyramide multiplizierst du den der Grundfläche mit der Höhe und anschließend mit . Das Ergebnis erhält eine .
Prüfe zuerst die Art jeder Größe: $G$ ist eine Fläche, $h$ eine Länge und $V$ ein Rauminhalt.
Lösungen: Lücke 1: Flächeninhalt; Lücke 2: senkrechten; Lücke 3: einem Drittel; Lücke 4: Kubikeinheit. Prüfe zuerst die Art jeder Größe: $G$ ist eine Fläche, $h$ eine Länge und $V$ ein Rauminhalt.
3Zuerst die passende Grundfläche berechnen⌄
Die Pyramidenformel bleibt gleich. Nur die Berechnung von $G$ hängt von der Form der Grundfläche ab.
Form der Grundfläche
Flächeninhalt $G$
Quadrat mit Seite $a$
$G=a^2$
Rechteck mit Seiten $a$ und $b$
$G=a\cdot b$
Dreieck mit Grundseite $g$ und Dreieckshöhe $h_G$
$G=\frac12g h_G$
Parallelogramm mit Grundseite $g$ und zugehöriger Höhe $h_G$
$G=g h_G$
Die Bezeichnung $h_G$ hilft bei der Unterscheidung: Sie gehört zur Grundfläche. Die Pyramidenhöhe $h$ führt dagegen senkrecht von der Grundfläche zur Spitze.
✎Beispiel
Eine quadratische Pyramide hat $a=8\,\text{m}$ und $h=6\,\text{m}$.
Zuerst berechnest du die quadratische Grundfläche:
Die Pyramide hat ein Volumen von $128\,\text{m}^3$.
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4Typische Fehler sicher vermeiden⌄
Grundseite statt Grundfläche: In die Volumenformel gehört nicht nur eine Seitenlänge. Berechne zuerst den Flächeninhalt $G$.
Schräge Strecke statt Höhe: Verwende ausschließlich den senkrechten Abstand zwischen Spitze und Grundfläche.
Faktor $\frac13$ vergessen: Ohne diesen Faktor berechnest du das Volumen eines passenden Prismas, nicht das der Pyramide.
Falsche Einheit: $G$ hat eine Quadrateinheit, das Volumen $V$ eine Kubikeinheit.
iGut zu wissen
Bei Aufgaben kann auch eine andere Größe gesucht sein. Aus $V=\frac13Gh$ folgt nach Multiplikation mit 3 beispielsweise $3V=Gh$. Ist die Höhe bekannt, erhältst du die Grundfläche mit $G=\frac{3V}{h}$.
✎Beispiel
Gegeben sind $V=54\,\text{cm}^3$ und $h=9\,\text{cm}$. Gesucht ist $G$.
Vergleich: ein Drittel des passenden Prismenvolumens
7Abschluss-Check⌄
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Du bist bereit, wenn du vor jeder Rechnung drei Fragen beantworten kannst: Welche Form hat die Grundfläche? Wie groß ist $G$? Welche Strecke ist wirklich die senkrechte Höhe $h$?
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