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Rechendreiecke lösen: Regeln, Beispiele, Tricks
Bei einem Rechendreieck ist jede Außenzahl die Summe der beiden Innenzahlen an ihrer Seite. Sind Innenzahlen vorgegeben, addierst du. Fehlt eine Innenzahl, ziehst du die bekannte Innenzahl von der Außenzahl ab. Sind nur die drei Außenzahlen bekannt, hilft die halbe Außensumme.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die Grundregel sicher erkennen
Ein Rechendreieck hat drei Zahlen in den Ecken des Dreiecks. An jeder der drei Seiten steht außen eine weitere Zahl.
Seitensumme
Die Seitensumme ist die Außenzahl an einer Dreiecksseite. Sie entsteht, indem du die beiden Innenzahlen an genau dieser Seite addierst.
Stehen an einer Seite innen die Zahlen $4$ und $6$, lautet die Außenzahl:
$$4+6=10$$
Die dritte Innenzahl gehört nicht zu dieser Seitensumme. Jede Innenzahl wirkt aber an zwei Seiten mit, weil jede Ecke an zwei Seiten liegt.
Außen = innen + innen. Achte immer zuerst darauf, welche beiden Ecken an der betrachteten Seite liegen.
Fehlende Zahlen mit der passenden Rechenart finden
Welche Rechenart du brauchst, hängt davon ab, welches Feld fehlt.
- Außenzahl fehlt: Addiere die beiden benachbarten Innenzahlen.
- Innenzahl fehlt: Ziehe die bekannte Innenzahl von der Außenzahl derselben Seite ab.
An einer Seite steht außen $11$. Eine der beiden Innenzahlen ist $7$. Für die fehlende Innenzahl suchst du die Zahl, die zusammen mit $7$ die Summe $11$ ergibt:
$$11-7=4$$
Die fehlende Innenzahl ist $4$. Die Probe bestätigt das Ergebnis: $7+4=11$.
Bei einem ganzen Dreieck gehst du Seite für Seite vor. Nutze nur Seiten, an denen bereits genug Zahlen bekannt sind. Prüfe am Ende alle drei Seitensummen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Fehlt eine Außenzahl, rechnest du . Fehlt an einer Seite eine Innenzahl, rechnest du . Zur Probe bildest du wieder die .
Vertiefung: Nur mit Außenzahlen systematisch lösen
Sind alle drei Innenfelder leer, reichen die drei Außenzahlen trotzdem aus. Der Grund: In der Summe aller Außenzahlen wird jede Innenzahl genau zweimal gezählt.
Die Außenzahlen sind $9$, $10$ und $7$.
- Addiere alle Außenzahlen: $9+10+7=26$.
- Halbiere die Summe: $26:2=13$. Das ist die Summe aller drei Innenzahlen.
- Für die Innenzahl gegenüber der Außenzahl $7$ rechnest du $13-7=6$.
- Entsprechend erhältst du gegenüber $9$ die Zahl $13-9=4$ und gegenüber $10$ die Zahl $13-10=3$.
Die Innenzahlen sind also $6$, $4$ und $3$. Die Kontrolle an den Seiten ergibt $6+3=9$, $6+4=10$ und $4+3=7$.
Halbe Außensumme minus gegenüberliegende Außenzahl = gegenüberliegende Innenzahl. „Gegenüberliegend“ bedeutet: Diese Außenseite berührt die gesuchte Innenecke nicht.
Für Außenzahlen $a$, $b$ und $c$ lässt sich dieselbe Idee als Formel schreiben. Die Innenzahl gegenüber von $a$ ist:
$$\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}$$
Die Formel ist nur eine kurze Schreibweise für das Verfahren. Für das Lösen genügt die Halbierungsmethode.
Ganze Innenzahlen und eigene Aufgaben prüfen
Nicht jede Wahl von drei Außenzahlen führt zu ganzen Innenzahlen. Da jede Innenzahl in zwei Seitensummen vorkommt, gilt:
$$\text{Außensumme}=2\cdot\text{Innensumme}$$
Eine ungerade Außensumme kann deshalb nicht das Doppelte einer ganzen Innensumme sein.
Für die Außenzahlen $3$, $5$ und $7$ gilt $3+5+7=15$. Die Hälfte wäre $7{,}5$. Daher gibt es für diese Außenzahlen keine Lösung, bei der alle Innenzahlen ganz sind.
Eine gerade Außensumme liefert mit der Halbierungsmethode ganze Ergebnisse. Trotzdem solltest du die Aufgabenbedingung beachten: Falls nur nichtnegative Zahlen erlaubt sind, darf keine berechnete Innenzahl kleiner als $0$ sein.
Du kannst selbst ein sicher lösbares Rechendreieck erstellen:
- Wähle zuerst drei erlaubte Innenzahlen.
- Addiere an jeder Seite die beiden benachbarten Innenzahlen.
- Gib einer anderen Person nur einige Felder oder nur die Außenzahlen.
- Prüfe die Lösung an allen drei Seiten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Rechendreieck
- Grundregel: Außenzahl ist die Summe zweier benachbarter Innenzahlen
- Seitenbeziehung: Jede Innenzahl gehört zu zwei Seiten
- Außenzahl fehlt: benachbarte Innenzahlen addieren
- Innenzahl fehlt: von der Außenzahl subtrahieren
- Nur Außenzahlen: Außensumme halbieren und Gegenseite abziehen
- Kontrolle: alle drei Seiten prüfen
- Ganze Innenzahlen: ungerade Außensumme macht sie unmöglich
Abschluss-Check
Löse zuerst selbst und nutze danach die Rückmeldungen.
Du kannst ein Rechendreieck sicher lösen, wenn du zuerst die benachbarten Felder bestimmst, dann die passende Umkehrrechnung wählst und zuletzt alle drei Seiten kontrollierst.