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Rechenmauern lösen und Zahlenmuster verstehen
In einer Rechenmauer ist jeder obere Stein die Summe der beiden Steine direkt darunter. Du rechnest deshalb von unten nach oben mit Addition. Fehlt unten eine Zahl, rechnest du mit Subtraktion zurück.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So funktioniert eine Rechenmauer
Die unterste Reihe heißt Grundreihe. Ihre Zahlen sind die Grundzahlen. Ganz oben liegt der Deckstein; seine Zahl heißt Deckzahl.
Bei drei Grundsteinen gehst du so vor:
- Addiere die linke und die mittlere Grundzahl.
- Addiere die mittlere und die rechte Grundzahl.
- Addiere die beiden Ergebnisse. So erhältst du die Deckzahl.
Die Grundzahlen sind 2, 3 und 4.
- Linker Stein der zweiten Reihe: $2+3=5$.
- Rechter Stein der zweiten Reihe: $3+4=7$.
- Deckstein: $5+7=12$.
Die fertige Mauer hat also unten 2, 3, 4, darüber 5, 7 und oben 12.
Ein Stein darf nur aus seinen beiden direkten unteren Nachbarn berechnet werden. Schräg entfernte Zahlen gehören nicht zu diesem Rechenschritt.
Fehlende Zahlen rückwärts finden
Kennst du einen oberen Stein und einen seiner unteren Nachbarn, nutzt du die Umkehraufgabe. Du ziehst den bekannten unteren Nachbarn vom oberen Stein ab.
Ein oberer Stein ist 12. Direkt darunter stehen links 7 und rechts eine Lücke.
$12-7=5$
In die Lücke gehört 5, denn die Probe ergibt $7+5=12$.
Angenommen, dieser Stein 5 liegt wiederum über der Grundzahl 3 und einer Lücke. Dann gilt:
$5-3=2$
Die fehlende Grundzahl ist 2. Die Probe $3+2=5$ bestätigt das Ergebnis.
Arbeite von einem Rechenschritt zum nächsten. Eine Subtraktion ist nur möglich, wenn der obere Stein und genau einer seiner beiden unteren Nachbarn bekannt sind.
Änderungen bis zum Deckstein verfolgen
Eine Grundzahl kann auf mehreren Rechenwegen in den Deckstein eingehen. Bei einer Mauer mit drei Grundsteinen wirken die äußeren Grundzahlen jeweils einmal. Die mittlere Grundzahl wirkt zweimal, weil sie zu beiden Steinen der zweiten Reihe gehört.
Aus den Grundzahlen 2, 3 und 4 entsteht die Deckzahl 12. Erhöhst du nur die mittlere Grundzahl von 3 auf 5, lautet die neue Grundreihe 2, 5, 4:
- zweite Reihe: $2+5=7$ und $5+4=9$;
- Deckstein: $7+9=16$.
Die mittlere Grundzahl ist um 2 gewachsen, die Deckzahl aber um 4. Erhöhst du stattdessen nur eine äußere Grundzahl um 2, wächst die Deckzahl ebenfalls nur um 2.
Bei drei Grundsteinen gilt: außen um $k$ erhöhen bedeutet Deckstein um $k$ erhöhen; die Mitte um $k$ erhöhen bedeutet Deckstein um $2k$ erhöhen.
Vertiefung: Die Deckzahl vorhersagen
Nenne die drei Grundzahlen von links nach rechts $a$, $b$ und $c$. Dann stehen in der zweiten Reihe $a+b$ und $b+c$. Für den Deckstein gilt:
$$(a+b)+(b+c)=a+2b+c$$
In Worten: äußere Grundzahl plus doppelte mittlere Grundzahl plus äußere Grundzahl. Die Formel erklärt, warum die Mitte doppelt wirkt.
Gesucht ist die mittlere Grundzahl. Außen stehen 2 und 4, der Deckstein soll 16 sein.
Probiere geordnet:
- Für die Mitte 3 ergibt sich $2+2\cdot3+4=12$. Das ist zu klein.
- Für die Mitte 4 ergibt sich $2+2\cdot4+4=14$. Das ist noch zu klein.
- Für die Mitte 5 ergibt sich $2+2\cdot5+4=16$. Das passt.
Die Grundreihe ist 2, 5, 4. Die Probe über die Mauer ergibt 7 und 9 in der zweiten Reihe sowie $7+9=16$ im Deckstein.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Rechenmauer
- Bauregel: zwei untere Nachbarn addieren
- Vorwärts: Addition bis zum Deckstein
- Rückwärts: Subtraktion zur fehlenden Zahl
- Grundreihe: linke, mittlere und rechte Grundzahl
- Deckstein: Ergebnis an der Spitze
- Veränderung: innere Zahlen wirken stärker
- Dreiermauer: Deckzahl ist $a+2b+c$