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Zauberquadrate erkennen, lösen und erforschen
In einem Zauberquadrat haben alle Zeilen, alle Spalten und die beiden Diagonalen dieselbe Summe. Diese gemeinsame Summe heißt Zauberzahl. Du kannst fehlende Einträge berechnen, indem du bekannte Zahlen von der Zauberzahl abziehst.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ein Zauberquadrat?
Ein 3×3-Quadrat hat drei Zeilen und drei Spalten. Zusätzlich verlaufen zwei Diagonalen von Ecke zu Ecke.
Zauberquadrat
Ein Zauberquadrat ist ein quadratisches Zahlenfeld, in dem jede Zeile, jede Spalte und beide Diagonalen dieselbe Summe ergeben. Diese Summe heißt Zauberzahl oder magische Zahl.
Betrachte dieses Quadrat:
| 6 | 7 | 2 |
|---|---|---|
| 1 | 5 | 9 |
| 8 | 3 | 4 |
Einige Prüfungen sind:
- obere Zeile: $6+7+2=15$
- mittlere Spalte: $7+5+3=15$
- Diagonale von links oben nach rechts unten: $6+5+4=15$
- andere Diagonale: $2+5+8=15$
Auch alle übrigen Zeilen und Spalten ergeben 15. Das Zahlenfeld ist deshalb ein Zauberquadrat mit der Zauberzahl 15.
Prüfe nicht nur die Zeilen. Erst wenn Zeilen, Spalten und beide Diagonalen dieselbe Summe haben, ist die Summenregel erfüllt.
Was ist am normalen 3×3-Quadrat besonders?
Ein normales Zauberquadrat der Ordnung 3 verwendet jede Zahl von 1 bis 9 genau einmal. „Ordnung 3“ bedeutet, dass jede Seite drei Felder lang ist.
Für dieses normale 3×3-Quadrat gelten drei hilfreiche Muster:
- Die Zauberzahl ist 15.
- In der Mitte steht die 5.
- Je zwei Zahlen, die mit der 5 auf einer Geraden liegen, ergeben zusammen 10.
Im Beispiel liegen 6 und 4 einander gegenüber. Daher gilt $6+4=10$. Zusammen mit der Mitte entsteht $6+5+4=15$.
Die Formel für die Zauberzahl eines normalen Quadrats der Ordnung $n$ lautet
$$M=\frac{1}{2}n(n^2+1).$$
Für $n=3$ ergibt sich $M=\frac{1}{2}\cdot3\cdot(9+1)=15$. Die Formel gilt hier für normale Quadrate mit den Zahlen von 1 bis $n^2$.
Drehst oder spiegelst du ein normales 3×3-Zauberquadrat, sieht die Anordnung anders aus. Sie gehört aber weiterhin zur gleichen Grundlösung und besitzt dieselbe Zauberzahl.
Wie berechnest du eine fehlende Zahl?
Suche zuerst eine Zeile, Spalte oder Diagonale, in der nur ein Feld fehlt. Dann gehst du in drei Schritten vor:
- Bestimme die Zauberzahl.
- Addiere die bekannten Zahlen der Reihe.
- Ziehe diese Summe von der Zauberzahl ab.
Als Formel:
$$x=M-\text{Summe der bekannten Einträge}$$
Dabei ist $x$ die fehlende Zahl und $M$ die Zauberzahl.
In einem Zauberquadrat mit der Zauberzahl 15 stehen in einer Zeile die Zahlen 6, 7 und eine Lücke.
Zuerst addierst du die bekannten Zahlen:
$$6+7=13$$
Dann ergänzt du zur Zauberzahl:
$$15-13=2$$
Die fehlende Zahl ist 2. Zur Kontrolle gilt $6+7+2=15$.
Wenn mehrere Felder fehlen, beginne mit einer Reihe, in der du bereits alle Zahlen bis auf eine kennst. Die neu berechnete Zahl kann anschließend eine weitere Reihe lösbar machen.
Welche Veränderungen erhalten den Zauber?
Du kannst aus einem Zauberquadrat weitere Zauberquadrate erzeugen.
Alle Einträge gleich verändern
Addierst du zu jedem Eintrag dieselbe Zahl, bleiben die Reihensummen gleich groß. Im Ausgangsquadrat hat jede Reihe drei Einträge. Addierst du überall 2, wächst daher jede Reihensumme um $3\cdot2=6$: Aus der Zauberzahl 15 wird 21.
| 8 | 9 | 4 |
|---|---|---|
| 3 | 7 | 11 |
| 10 | 5 | 6 |
Multiplizierst du jeden Eintrag mit 2, verdoppelt sich jede Reihensumme. Aus 15 wird 30.
Das Quadrat bewegen
Auch Drehen um 90°, 180° oder 270° sowie Spiegeln erhält die Summenregel. Die Zahlen wechseln ihre Plätze, aber jede neue Reihe entspricht wieder einer Reihe des Ausgangsquadrats.
Wenn du die Zahlenwerte durch Addition oder Multiplikation veränderst, erhältst du sicher wieder ein Zauberquadrat, wenn du alle Einträge nach derselben Regel behandelst. Veränderst du nur ein einzelnes Feld, stimmen die betroffenen Summen normalerweise nicht mehr überein.
Wie erforschst du ein Zauberquadrat selbst?
Beim Forschen geht es nicht nur darum, ein Ergebnis zu finden. Du suchst Muster und begründest, warum sie funktionieren.
Untersuche das normale 3×3-Quadrat aus dem ersten Kapitel:
- Notiere alle gegenüberliegenden Zahlenpaare mit der 5 in der Mitte.
- Prüfe die Summe jedes Paares.
- Drehe das Quadrat gedanklich um 90° und prüfe eine Zeile, eine Spalte und eine Diagonale.
- Addiere zu jedem Eintrag 3 und sage die neue Zauberzahl voraus, bevor du nachrechnest.
Die gegenüberliegenden Paare sind 6 und 4, 7 und 3, 2 und 8 sowie 1 und 9. Jedes Paar ergibt 10. Mit der Mittelzahl 5 hat jede Gerade durch die Mitte daher die Summe 15.
Nach der Addition von 3 zu jedem Feld wächst jede Dreierreihe um $3\cdot3=9$. Die neue Zauberzahl ist $15+9=24$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zauberquadrate
- erkennen: gleiche Summen in Zeilen, Spalten und Diagonalen
- berechnen: bekannte Einträge addieren und von der Zauberzahl abziehen
- prüfen: jede vorgeschriebene Reihe kontrollieren
- normales 3×3-Quadrat: Zahlen 1 bis 9, Mitte 5, Zauberzahl 15
- Zahlenwerte verändern: alle Einträge gleich behandeln
- drehen oder spiegeln: Anordnung ändern und Summenregel erhalten
- erforschen: Muster vermuten, prüfen und begründen
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kernweg, wenn du ein Quadrat vollständig prüfst, eine fehlende Zahl sicher ergänzt und die Wirkung einer Veränderung vorhersagen und begründen kannst.