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Rotationskörper: Volumen und Oberfläche berechnen
Ein Rotationskörper entsteht, wenn sich eine ebene Fläche um eine Achse dreht. Sein Volumen kannst du berechnen, indem du den Körper gedanklich in sehr dünne Kreisscheiben oder Kreisringe zerlegst und deren Volumina mit einem Integral addierst.
Auf dieser Seite lernst du zuerst die Rotation um die $x$-Achse kennen. Anschließend erfährst du, wie Hohlkörper, Rotationen um die $y$-Achse und Mantelflächen berechnet werden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was dreht sich um welche Achse?
Die Form eines Rotationskörpers hängt von zwei Dingen ab: von der gedrehten Fläche und von der Rotationsachse.
- Ein Rechteck, das um eine seiner Seiten rotiert, erzeugt einen Zylinder.
- Ein rechtwinkliges Dreieck, das um eine Kathete rotiert, erzeugt einen Kegel.
- Ein Halbkreis, der um seinen Durchmesser rotiert, erzeugt eine Kugel.
Rotationskörper
Ein Rotationskörper ist ein räumlicher Körper, der durch die Drehung einer ebenen Fläche um eine in derselben Ebene liegende Achse entsteht.
Bei einer Funktion $f$ auf dem Intervall $[a,b]$ kann die Fläche zwischen dem Graphen und der $x$-Achse um die $x$-Achse gedreht werden. Der Abstand des Graphen von der Achse wird dabei zum Radius des Körpers.
Zum Skizzieren kannst du die Randkurve an der Rotationsachse spiegeln. Kreisförmige Flächen erscheinen in einer räumlichen Zeichnung meist als Ellipsen.
Von dünnen Scheiben zum Volumenintegral
Warum wird die Funktion in der Volumenformel quadriert? Teile das Intervall $[a,b]$ gedanklich in sehr schmale Abschnitte der Breite $\Delta x$.
Über einem solchen Abschnitt ist der Funktionswert näherungsweise konstant. Bei der Rotation entsteht deshalb eine dünne Zylinderscheibe mit
- Radius $r=|f(x)|$,
- Grundfläche $A=\pi r^2=\pi(f(x))^2$,
- Dicke $\Delta x$.
Der Betrag ist nötig, weil ein Radius nicht negativ sein kann. Durch das Quadrieren erhältst du dieselbe Grundfläche, unabhängig davon, ob der Graph oberhalb oder unterhalb der $x$-Achse liegt.
Das kleine Scheibenvolumen ist näherungsweise
$$\Delta V=\pi(f(x))^2\Delta x.$$
Je schmaler die Scheiben werden, desto genauer wird die Summe. Im Grenzfall entsteht das Integral.
Rotiert die Fläche zwischen $f$ und der $x$-Achse auf $[a,b]$ um die $x$-Achse, gilt für das Volumen
$$V=\pi\int_a^b(f(x))^2\,dx.$$
Die Grenzen $a$ und $b$ sind $x$-Werte. Das Ergebnis besitzt eine kubische Einheit, zum Beispiel $\mathrm{cm}^3$.
Beim Rechnen kommt es auf die Reihenfolge an:
- Bestimme Funktion und Intervall.
- Quadriere den vollständigen Funktionsterm.
- Bilde eine Stammfunktion des quadrierten Terms.
- Berechne obere minus untere Einsetzung.
- Multipliziere mit $\pi$ und ergänze die Volumeneinheit.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei der Scheibenmethode wird der Radius vor dem Integrieren . Die Grenzen stammen bei einer Integration nach $x$ aus dem . Ein Volumen wird in Einheiten angegeben.
So berechnest du einen Vollkörper
Gegeben ist
$$f(x)=x^2+1\quad\text{für}\quad x\in[-1,1].$$
Die Fläche zwischen dem Graphen und der $x$-Achse rotiert um die $x$-Achse.
1. Volumenformel aufstellen
$$V=\pi\int_{-1}^{1}(x^2+1)^2\,dx$$
2. Den ganzen Funktionsterm quadrieren
$$(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1$$
3. Stammfunktion bilden
$$V=\pi\left[\frac15x^5+\frac23x^3+x\right]_{-1}^{1}$$
4. Grenzen einsetzen
$$V=\pi\left(\frac{28}{15}-\left(-\frac{28}{15}\right)\right)$$
Damit beträgt das Volumen
$$V=\frac{56\pi}{15}\ \mathrm{VE}.$$
Weil $f$ eine gerade Funktion ist, ist der Körper symmetrisch. Du könntest deshalb auch von $0$ bis $1$ integrieren und das Ergebnis verdoppeln.
Bei Hohlkörpern werden Kreisringe addiert
Liegt die rotierende Fläche zwischen zwei Graphen, entsteht häufig ein Hohlkörper. Dabei beschreibt $f(x)$ den äußeren Radius und $g(x)$ den inneren Radius. Im gesamten Intervall muss der äußere Radius mindestens so groß wie der innere sein.
Die Querschnittsfläche eines Kreisrings lautet
$$A(x)=\pi f(x)^2-\pi g(x)^2.$$
Daraus folgt
$$V=\pi\int_a^b\left(f(x)^2-g(x)^2\right)\,dx.$$
Quadriere zuerst beide Radien und subtrahiere danach. Im Allgemeinen gilt
$$f(x)^2-g(x)^2\ne(f(x)-g(x))^2.$$
Gegeben sind
$$f(x)=x^2+2,\qquad g(x)=\frac12x+1,\qquad x\in[0,1].$$
Das äußere Volumen minus den Hohlraum ergibt
$$V=\pi\int_0^1\left((x^2+2)^2-\left(\frac12x+1\right)^2\right)\,dx.$$
Nach dem Ausmultiplizieren steht im Integral
$$x^4+\frac{15}{4}x^2-x+3.$$
Eine passende Stammfunktion ist
$$F(x)=\frac15x^5+\frac54x^3-\frac12x^2+3x.$$
Damit erhältst du
$$V=\pi[F(x)]_0^1=\frac{79\pi}{20}\ \mathrm{VE}.$$
Vertiefung: Andere Achse und Mantelfläche
Rotation um die y-Achse
Verwendest du Scheiben senkrecht zur $y$-Achse, integrierst du nach $y$. Dafür musst du den Radius als Funktion von $y$ ausdrücken.
Ist $f$ im betrachteten Intervall stetig und streng monoton, besitzt sie dort eine eindeutige Umkehrfunktion $f^{-1}$. Für die Fläche zwischen Kurve und $y$-Achse gilt dann
$$V=\pi\int_{\min\{f(a),f(b)\}}^{\max\{f(a),f(b)\}}\left(f^{-1}(y)\right)^2\,dy.$$
Die Integrationsgrenzen sind nun $y$-Werte. Entstehen beim Auflösen mehrere Äste, musst du den Ast wählen, der zum betrachteten $x$-Intervall gehört.
Für $f(x)=x^2$ auf $[0,2]$ gilt $f^{-1}(y)=\sqrt y$. Die Fläche zwischen Kurve, $y$-Achse und $y=4$ rotiert um die $y$-Achse.
$$V=\pi\int_0^4(\sqrt y)^2\,dy=\pi\int_0^4y\,dy$$
$$V=\pi\left[\frac12y^2\right]_0^4=8\pi\ \mathrm{VE}.$$
Mantel ist nicht Gesamtoberfläche
Die Mantelfläche entsteht durch die Rotation der Randkurve. Für eine nichtnegative, differenzierbare Funktion bei Rotation um die $x$-Achse gilt
$$M=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.$$
Dabei ist $2\pi f(x)$ der Umfang des jeweiligen Querschnittskreises. Der Faktor $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ berücksichtigt die Länge der schräg verlaufenden Kurve.
Zur gesamten Oberfläche können zusätzlich Grund- und Deckfläche gehören:
$$O=G+D+M.$$
Bei zusammengesetzten Körpern zählen verdeckte Kontaktflächen nicht zur äußeren Oberfläche.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Rotationskörper
- Entstehung: Eine ebene Fläche dreht sich um eine Achse
- Vollkörper: Quadrierte Radiusfunktion integrieren
- Hohlkörper: Äußere und innere Kreisfläche subtrahieren
- Rotation um die y-Achse: Radius und Grenzen als y-Werte ausdrücken
- Mantelfläche: Umfang und Bogenlängenfaktor integrieren
- Kontrolle: Grenzen, Einheit und Körperart prüfen
Abschluss-Check
Prüfe bei jeder Aufgabe zum Schluss: Passt die Rotationsachse zur Formel? Sind äußerer und innerer Radius richtig zugeordnet? Stimmen Grenzen und Einheit? Wenn alle vier Punkte passen, ist dein Ergebnis auch im Sachzusammenhang plausibel.