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Wenn eine Fläche um eine Achse gedreht wird, entsteht ein räumlicher Körper. So kann aus einem Rechteck ein Zylinder oder aus einem Funktionsgraphen ein Rotationskörper werden. Danach kannst du einfache Volumina mit Integralen berechnen.
- Ich kann erklären, was ein Rotationskörper ist.
- Ich kann die Rotation um die x-Achse deuten.
- Ich kann die Volumenformel mit einem Integral anwenden.
- Ich kann einfache Rotationsvolumina berechnen.
- Ich kann prüfen, ob Radius und Grenzen richtig gewählt sind.
Von Fläche zu Körper
Ein Rotationskörper entsteht, wenn eine Fläche um eine Gerade gedreht wird. Diese Gerade heißt Rotationsachse.
Rotationskörper
Ein Rotationskörper ist ein Körper, der durch Drehung einer ebenen Fläche um eine Achse entsteht.
Drehst du ein Rechteck um eine seiner Seiten, entsteht ein Zylinder. Drehst du ein rechtwinkliges Dreieck um eine Kathete, entsteht ein Kegel.
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Volumen mit der Scheibenmethode
Bei Rotation um die x-Achse ist der Funktionswert der Radius der Kreisscheibe. Deshalb taucht \(\pi f(x)^2\) auf.
Scheibenmethode
Bei Rotation des Graphenbereichs unter \(f(x)\) um die x-Achse gilt \(V=\pi\int_a^b (f(x))^2\,dx\), wenn \(f(x)\) der Radius ist.
Die Fläche unter \(f(x)=x\) von \(0\) bis \(3\) rotiert um die x-Achse.
- Formel: \(V=\pi\int_0^3 x^2\,dx\).
- Stammfunktion: \(\frac{x^3}{3}\).
- Einsetzen: \(\frac{3^3}{3}-0=9\).
- Also ist \(V=9\pi\).
Beim Rotationsvolumen wird der Radius quadriert. Vergisst du das Quadrat, wird das Volumen falsch.
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Ein einfacher Zylinder als Kontrolle
Die Integralformel muss bekannte Körper wiedergeben. Das ist eine gute Probe.
Die konstante Funktion \(f(x)=2\) von \(0\) bis \(5\) rotiert um die x-Achse.
\(V=\pi\int_0^5 2^2\,dx=\pi\int_0^5 4\,dx=20\pi\).
Das passt zum Zylinder: Grundfläche \(4\pi\) mal Höhe 5.
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Prüfungsmodus
Achte auf die Achse, die Grenzen und den Radius. Bei Rotation um die y-Achse brauchst du oft eine andere Umformung.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Ein Rotationskörper entsteht durch Drehen einer Fläche um eine Achse. Bei Rotation um die x-Achse nutzt du häufig \(V=\pi\int_a^b f(x)^2 dx\). Das Quadrat kommt aus der Kreisfläche, deshalb ist die Wahl des Radius der wichtigste Schritt.